Минский корпус Рене Генона

Глава VIII «Деление до бесконечности» или неопределённая делимость

Для Лейбница материя не только делима, но «действительно подразделена без конца» во всех своих частях, «каждая часть на части, из которых каждая имеет своё собственное движение»;1 и на таком видении он настаивает, чтобы теоретически поддержать концепцию, изложенную нами в последнюю очередь: «Из действительного деления следует, что в одной части материи, какой бы малой она ни была, имеется что-то вроде мира, состоящего из бесчисленных созданий».2 Бернулли также допускает такое деление материи in partes numero infinitas, но он извлекает из этого следствия, которые Лейбниц не принимает: «Если конечное тело, – говорит он, – имеет бесконечное число частей, то я всегда считал и ещё считаю, что самая малая из этих частей должна иметь с целым связь, не подлежащую измерению, или бесконечно малую»;3 на что Лейбниц отвечает: «Даже если согласиться, что нет ни одной части материи, которая не была бы действительно делима, мы тем не менее не дойдем до неделимых элементов или до частей, меньших, чем все остальные, или до бесконечно малых, но только до частей, всегда ещё меньших, которые всё же являются обычными величинами, а при увеличении мы дойдем до величин, всегда ещё больших».4 Следовательно, именно существование minimae portiones, или «последних элементов» Лейбниц и оспаривает; наоборот, для Бернулли кажется ясным, что действительное деление подразумевает одновременное существование всех элементов подобно тому, как если дан «бесконечный» ряд, то все члены, которые его образуют, должны быть даны одновременно, что подразумевает существование terminus infinitesimus. Но для Лейбница существование такого члена является не менее противоречивым, чем существование «бесконечного числа», а понятие самого малого из чисел, или fractio omnium infima — не менее, чем понятие самого большого из чисел; то, что он рассматривает как «бесконечность» ряда, характеризуется невозможностью дойти до последнего члена, и также и материя не могла бы делиться до «бесконечности», если такое деление могло бы когда-нибудь завершиться и дойти до «последних элементов»; и дело не только в том, что мы не сможем фактически дойти до этих последних элементов, как допускает Бернулли, но в том, что они не должны существовать в природе. Нет далее неделимых телесных элементов, или «атомов» в собственном смысле слова, как нет в порядке чисел неделимой дроби, которая не могла бы породить всегда ещё более малые дроби, или как нет в геометрическом порядке линейного элемента, который нельзя было бы разделить на более малые элементы.

По сути дела, смысл, в котором здесь везде Лейбниц принимает «бесконечное», – это именно тот смысл, в котором он говорит, как мы видели, о «бесконечном множестве»: для него говорить о каком-либо ряде, так же как и о последовательности целых чисел, которая является бесконечной, значит говорить не то, что она должна завершиться terminus infinitesimus или «бесконечным числом», но наоборот, что она не должна обладать последним членом, потому что члены, которые она в себя включает, являются plus quam numero designari possint или создающими множество, которое превосходит любое число.Кроме того, если можно сказать, что материя делима до бесконечности, то потому, что любая из её частей, какой бы малой она ни была, всегда охватывает собой какое-то множество; другими словами, материя не обладает partes minimae или простыми элементами, она, в сущности, есть нечто сложное, составное: «Верно, что простые субстанции, то есть которые не являются сложными, действительно являются неделимыми, но они нематериальны и представляют собой лишь принципы действия».5 Именно в смысле неисчислимого множества, которое, впрочем, является самым обыкновенным у Лейбница, идея так называемого бесконечного и может применять к материи, к геометрической протяженности и вообще к непрерывному, рассматриваемому в связи с его составом; кроме того, этот смысл не свойствен исключительно infinitum continuum, он распространяется также и на infinitum discretum, как мы видели в примере с множеством всех чисел и с «бесконечными рядами». Именно поэтому Лейбниц мог сказать, что величина бесконечна в том, что в ней есть «неисчерпаемого», из чего следует, что «всегда можно взять насколько угодно малую величину»; и «остается истинным, например, что 2 – это столько же, сколько 1/1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + 1/32 + ... и т. д., что является бесконечным рядом, в котором все дроби, числители которых равны 1, а знаменатели – членам двойной геометрической прогрессии, взятым одновременно, при условии, что мы используем всегда лишь обычные числа и что нам не приходится вводить никакой бесконечно малой дроби или той, знаменатель которой был бы бесконечным числом».6 Кроме того, только что сказанное позволяет понять, как Лейбниц, утверждая, что бесконечное в том смысле, в каком он его понимал, не является целым, мог тем не менее применять эту идею к непрерывному: в своей совокупности непрерывное подобно какому-либо телу образует целое, и даже то, что мы называли выше истинным целым, логически предшествующим своим частям и независимым от них, но оно, очевидно, всегда как таковое конечно; следовательно, не в связи с целым Лейбниц может говорить о бесконечном, но только в связи с частями, на которые оно разделено или может быть разделено, и в той мере, в какой множество этих частей действительно превосходит всякое допускающее точное определение число: это то, что можно назвать аналитической концепцией бесконечного, вызванной тем, что на самом деле лишь аналитически множество, о котором идёт речь, неисчерпаемо, как мы это далее объясним.

Если теперь мы спросим, чего стоит идея «деления до бесконечности», то необходимо признать, что, как и идея «бесконечного множества», она содержит в себе некоторую часть истины, а также что способ, каким она выражена, далеко не защищен от любого вида критики: прежде всего само собой разумеется, согласно тому, что до сих пор излагали, не может быть и речи о каком-либо делении до бесконечности, но только о неопределённом делении; с другой стороны, следует применять эту идею не к материи вообще, что, возможно, не имеет никакого смысла, но только к телам или к телесной материи, если оставаться здесь в рамках рассуждений о «материи», несмотря на крайнюю темноту этого понятия и множественные двусмысленности, которым она дает место.7 На самом деле именно протяженности, а не материи, в каком бы значении её ни понимать, и принадлежит, собственно говоря, делимость, и здесь можно смешивать и то и другое лишь при условии, что мы принимаем картезианскую концепцию, которая, в сущности, связывает природу тел исключительно с протяженностью, концепцию, которую, между прочим, сам Лейбниц уже не принимал; если, следовательно, любое тело неизбежно делимо, то потому, что оно протяженно, а не потому, что оно материально. Напомним также, что протяженность, будучи чем-то определённым, не может быть бесконечной и, в силу этого, она, очевидно, не может подразумевать никакой возможности, которая была бы бесконечной в большей мере, чем является она сама; но поскольку делимость – это качество, внутренне свойственное природе протяженности, её ограниченность может исходить лишь из самой этой природы: поскольку имеется протяженность, эта протяженность всегда делима, и поэтому можно рассматривать эту делимость как реально неопределённую, причем эта неопределённость будет обусловлена неопределённостью протяженности. Как следствие, протяженность как таковая не может быть составлена из неделимых элементов, так как эти элементы, чтобы быть действительно неделимыми, должны быть непротяженными, а сумма непротяженных элементов никогда не сможет образовать протяженность, так же, как сумма нулей не может образовать число; именно поэтому, как мы объяснили в ином месте,8 точки не являются элементами или частями линии, а истинными линейными элементами всегда являются расстояния между точками, которые представляют собой лишь их края. Между прочим, таким образом сам Лейбниц и рассматривал данный вопрос, и то, что, согласно ему, как раз и составляет фундаментальное различие между его методом бесконечно малых и «методом неделимых» Кавальери, так это тот факт, что он не рассматривает ни линию, как состоящую из точек, ни поверхность как состоящую из линий, ни объем как состоящий из поверхностей: точки, линии и поверхности здесь лишь пределы или крайности, а не образующие элементы. Очевидно, на самом деле, что точки, умноженные на какую бы то ни было величину, никогда не смогут произвести длину, поскольку, строго говоря, они равны нулю по отношению к длине; истинные элементы величины должны всегда быть той же природы, что и сама величина, пусть даже и несравнимо меньшими: как раз это и не имеет места в случае с «неделимыми», а с другой стороны, именно это позволяет соблюдать в исчислении бесконечно малых определенный закон однородности, который предполагает, что обычные величины и бесконечно малые величины различных порядков являются тем не менее величинами одного и того же вида.

С этой точки зрения можно ещё сказать, что часть, какой бы она ни была, должна всегда сохранять определённую «однородность» с целым или соответствие его природе, по крайней мере поскольку это целое рассматривается как способное к восстановлению посредством его частей способом, сравнимым с тем, что служит образованию арифметической суммы. Это, впрочем, не означает, что в реальности нет ничего простого, так как сложное может быть сформировано на основе элементов совершенно иным способом нежели этот; но тогда, правда, эти элементы не являются, собственно говоря, «частями» и, как это признает Лейбниц, они ни в коей мере не могут быть элементами телесного порядка. В чем можно на самом деле быть уверенным, так это в том, что нельзя дойти до простых, то есть неделимых элементов, не выйдя за пределы того особого условия, каким является протяженность, и поэтому протяженность не может быть разложена на такие элементы, не перестав быть протяженностью. Из этого непосредственно следует, что не могут существовать неделимые телесные элементы, и что такое понятие подразумевает противоречие; на самом деле, подобные элементы должны быть непротяженными, и тогда они уже не будут телесными, так как в силу самого определения тот, кто говорит о телесном, неизбежно говорит о протяженном, хотя, между прочим, дело и не обстоит так со всей природой вещей; и таким образом, несмотря на все оговорки, которые мы должны сделать, Лейбниц по крайней мере полностью прав в своем споре с атомизмом.

Однако до сих пор мы говорили только о делимости, то есть о возможности деления; следует ли идти далее и допустить вместе с Лейбницем «действительное деление»? Эта идея ещё не свободна от противоречий, так как она означает предположение полностью реализованного деления и тем самым противоречит самой природе бесконечного, которая, как мы об этом говорили, всегда является возможностью дальнейшего развития, то есть подразумевает, в сущности, нечто незавершенное, нечто ещё полностью нереализованное. Впрочем, на самом деле нет никаких оснований делать такое предположение, так как, когда перед нами совокупность непрерывного, то это целое, которое нам дано, но части, на которые оно может быть разделено, нам не даны, и мы только представляем, что нам можно разделить это целое на части, которые могут оказываться все более и более малыми, становясь таким образом меньшими, чем любая данная величина, если деление заходит слишком далеко; фактически именно мы и наделяем реальностью эти части по мере того, как осуществляем такое деление. Таким образом, от предположения о «действительном делении» нас избавляет различие, которое мы ранее установили относительно разных способов, какими может рассматриваться целое: совокупность непрерывного не является результатом сложения частей, на которые оно делимо, но, наоборот, от них независима и, как следствие, тот факт, что эта совокупность дана нам как целое, ни в коей мере не предполагает действительного существования этих частей.

Кроме того, с иной точки зрения, и переходя к рассмотрению дискретного, мы можем сказать, что если неопределённый числовой ряд нам дан, это никоим образом не подразумевает, что все члены, которые он в себя включает, даны нам раздельно, что настолько же невозможно, насколько он является неопределённым; в действительности задавать такой ряд – значит просто задавать закон, который позволяет рассчитать член, занимающий в ряду определённое место.9 Если бы Лейбниц дал такой ответ Бернулли, их дискуссия о существовании terminus infinitesimus сразу же тем самым и завершилась; но он не смог бы ответить таким образом, не придя логически к отрицанию своей идеи «действительного деления» и не отрицая всякую связь между непрерывной модальностью количества и его дискретной модальностью.

Как бы то ни было, что касается по меньшей мере непрерывного, то как раз в «неразличимости» частей мы и можем увидеть корень идеи бесконечного, как её понимает Лейбниц, поскольку, как мы уже сказали выше, эта идея всегда у него содержит некоторую долю путаницы; но такая «неразличимость», вместо того чтобы предполагать осуществляемое деление, склонялась бы, наоборот, к её исключению даже при отсутствии имеющих решающее значение оснований, на которые мы только что указали. Следовательно, если теория Лейбница верна в той мере, в какой она противостоит атомизму, то следует, для того чтобы она соответствовала истине, её исправить, заменив «деление материи до бесконечности» «неопределённой делимостью протяженности»: это в его наиболее краткой и наиболее точной форме тот результат, к которому окончательно приводят все только что изложенные нами рассуждения. Как раз благодаря закону образования натуральной последовательности мы и обладаем идеей всех целых чисел в том смысле, что они даны полностью в этом законе.

  1. 1. Лейбниц Г. В. Ф. Монадология. T. 1, стр. 413-429.⁠ ↑
  2. 2. Письмо Жану Бернулли от 12-22 июля 1698 г.⁠ ↑
  3. 3. Уже цитированное письмо от 23 июля 1698 г.⁠ ↑
  4. 4. Письмо от 29 июля 1698 г.⁠ ↑
  5. 5. Письмо Вариньону от 20 июня 1702 г.⁠ ↑
  6. 6. Там же.⁠ ↑
  7. 7. См.: «Царство количества и знамения времени».⁠ ↑
  8. 8. «Символизм креста». Глава XVI.⁠ ↑
  9. 9. См.: Кутюра Л. О математической бесконечности, стр. 467: «Натуральная последовательность чисел полностью задается законом её образования, так же, между прочим, как и все иные последовательности и бесконечные ряды, где формулы возобновления, вообще говоря, достаточно, чтобы полностью определить их таким образом, что их предел или их сумма (когда она существует) оказываются тем самым полностью определёнными... Как раз благодаря закону образования натуральной последовательности мы и обладаем идеей всех целых чисел, в том смысле, что они даны полностью в этом законе». – Можно на самом деле сказать, что общая формула, выражающая член п ряда, содержит потенциально и имплицитно, но не актуально и раздельно, все члены этого ряда, поскольку можно получить какой-то один из них, придав п значение, соответствующее тому месту, которое этот член должен занимать в ряду; но, вопреки тому, что думает Л. Кутюра, разумеется, вовсе не это желал сказать Лейбниц, «когда он поддерживал действительную бесконечность натуральной последовательности чисел».⁠ ↑
НазадДалее

Поиск

Если вы хотите стать патроном, чтобы
перевод этого текста появился в корпусе раньше —
свяжитесь с редактором по почте
или через Telegram.

Предложить правку