Глава IX Неопределенно возрастающее и неопределённо уменьшающееся
Прежде чем продолжить изучение вопросов, относящихся собственно к непрерывному, мы должны вернуться к тому, что говорили выше о несуществовании fractio omnium infima, что нам позволит увидеть, как соответствие или симметрия, существующая в некоторых отношениях между неопределённо возрастающими величинами и величинами, неопределённо уменьшающимися, может быть изображена в числах. Мы видели, что в области дискретных величин, пока их рассматривают лишь как последовательность целых чисел, эти числа должны рассматриваться как неопределённо возрастающие от единицы, но поскольку единица в сущности неделима, то и речи не может быть о неопределённо уменьшающихся; если взять числа в уменьшающемся направлении, то мы неизбежно оказались бы остановившимися на самой единице, и поэтому изображение неопределённого посредством чисел ограничено в одном направлении – в направлении неопределённо возрастающего. Наоборот, когда речь идёт о непрерывных величинах, можно рассматривать как неопределённо возрастающие величины, так и неопределённо уменьшающиеся; и то же самое происходит с самими дискретными величинами, как только, чтобы передать эту возможность, туда вводится рассмотрение дробных чисел. Действительно, можно рассматривать последовательность дробей, идущих в неопределённо уменьшающемся направлении, то есть какой бы маленькой ни была дробь, всегда можно образовать ещё более маленькую, и такое уменьшение никогда не сможет завершиться fractio minima, так же как возрастание целых чисел не сможет завершиться numerus maximus.
Чтобы сделать очевидным посредством изображения в числах соответствие неопределённо возрастающего и неопределённо уменьшающегося, достаточно рассмотреть одновременно с последовательностью целых чисел последовательность чисел, им обратных: число называется обратным другому, когда его произведение на это первое число равно единице, и по этой причине число, обратное п, изображается обозначением 1/п. В то время как последовательность целых чисел идёт от единицы в неопределённо возрастающем направлении, последовательность обратных чисел идёт в неопределённо уменьшающемся направлении от той же самой единицы, которая является числом, обратным себе самому, и которая поэтому есть точка отсчета, общая для двух рядов; каждому числу одной из последовательностей, соответствует одно число из другой, и наоборот, так что эти две последовательности являются одинаково неопределёнными, и они являются неопределёнными одним и тем же способом, хотя и в обратном направлении. Число, обратное какому-то числу, очевидно, является настолько же меньшим, насколько само это число велико, поскольку их произведение всегда остается постоянным; каким бы большим ни было число N, число N + 1 будет ещё больше в силу самого закона образования неопределённого ряда целых чисел, и точно так же, каким бы малым ни было число 1/N, число 1/(N+1) уменьшается. Следовательно, уместно, когда непрерывные величины рассматриваются как способные становиться насколько угодно большими и насколько угодно малыми, то есть большими и меньшими, чем любая определённая величина, всегда соблюдать симметрию и, можно в каком-то отношении сказать, параллелизм, который представляют собой эти две обратные друг другу переменные; это замечание поможет нам лучше понять впоследствии возможность различных порядков бесконечно малых величин.
Справедливо будет заметить, что хотя символ 1/п напоминает об идее дробных чисел и что на деле он от них и берет своё начало, тем не менее необходимо, чтобы числа, обратные целым числам, были бы здесь определены, и это необходимо для того, чтобы избежать неудобства, которое представляет собой обычное понятие дробных чисел с собственно арифметической точки зрения, то есть концепция дробей как «частей единицы». На самом деле достаточно рассматривать два ряда как образованные соответственно числами большими или меньшими, чем единица, то есть как два порядка величин, которые имеют в ней свой общий предел, и в то же время и тот и другой могут также рассматриваться как исходящие из этой единицы, которая на самом деле является первичным истоком всех чисел; кроме того, если мы желаем рассматривать эти две неопределённые совокупности, как образующие одну-единственную последовательность, то можно сказать, что единица занимает как раз середину в этой последовательности чисел, поскольку, как мы видели, в одной из этих совокупностей имеется ровно столько же чисел, сколько и в другой. С другой стороны, если бы мы желали с целью ещё больше обобщить, ввести, собственно говоря, дробные числа, вместо того чтобы рассматривать ряд целых чисел и ряд чисел, им обратных, то ничто не изменилось бы в отношении симметрии возрастающих и убывающих величин; с одной стороны, у нас были бы числа, большие, чем единица, а с другой – все числа, меньшие, чем единица; здесь также любому числу а/b > 1 соответствует в другой группе число b/а < 1, и наоборот, таким образом, что a/b × b/а = 1, так же как это было в случае сn × 1/n = 1, и таким образом всегда будет одно и то же количество чисел и в той и в другой из этих двух неопределённых групп, разделенных единицей; должно, впрочем, быть понятно, что когда мы говорим «столько же чисел», это означает, что имеются два множества, все члены которых соответствуют друг другу, но сами эти множества ни в коей мере не могут рассматриваться как «исчислимые». В любом случае сумма двух обратных чисел, умноженных друг на друга, всегда порождает единицу, из которой они и происходят; можно также сказать, что единица, занимающая середину между двумя группами и являющаяся единственным числом, которое может рассматриваться как принадлежащее одновременно и той и другой,1 хотя на самом деле более точно было бы сказать, что она их скорее объединяет, чем разделяет, – эта единица соответствует состоянию совершенного равновесия – и что она содержит в себе самой все числа, которые исходят из неё парами обратных друг другу или друг друга дополняющих чисел; каждая из этих пар образует в силу этой взаимодополнительности относительную единицу в своей неразделимой двойственности;2 но мы чуть позже вернемся к этому последнему доводу и к тем следствиям, которые он подразумевает.
Вместо того чтобы утверждать, что ряд целых чисел является неопределённо возрастающим, а ряд обратных им чисел неопределённо уменьшающимся, можно также говорить в том же самом смысле, что числа стремятся, с одной стороны, к неопределённо большому, а с другой – к неопределённо малому при условии, что мы понимаем под этим сами пределы области, в которой эти числа рассматриваются, так как переменная величина может стремиться только к пределу. Область, о которой идёт речь, является в конечном счете областью числовой величины, рассматриваемой во всей широте, на которую она способна;3 это также означает, что пределы определяются не тем или иным частным числом, каким бы большим или каким бы малым оно ни предполагалось, но самой природой числа как такового. Именно поэтому число, как и любая иная вещь определённой природы, исключает всё то, что им не является, и здесь и речи быть не может о бесконечности; впрочем, мы только что говорили, что неопределённо большое должно неизбежно мыслиться как предел, хотя оно ни в коей мере не является terminus ultimus ряда чисел, и можно по этому поводу заметить, что выражение «стремиться к бесконечности», часто используемое математиками в смысле «возрастать до неопределённости», также является абсурдным, поскольку бесконечное, очевидно, подразумевает отсутствие любого предела, и что, следовательно, здесь нет ничего, к чему можно было бы стремиться. Также довольно странно, что некоторые, полностью признавая некорректность и излишний характер выражения «стремиться к бесконечности», не испытывают, с другой стороны, никаких сомнений, принимая выражение «стремиться к нулю» в смысле «уменьшаться до неопределённости»; тем не менее нуль, или «нулевая величина», в точности симметрична по отношению к уменьшающимся величинам тому, чем является мнимая «бесконечная величина» по отношению к возрастающим величинам; но нам впоследствии ещё предстоит вернуться к вопросам, которые, в частности, возникают по поводу нуля и его различных значений.
Поскольку последовательность чисел в своей совокупности не «завершается» определённым числом, из этого следует, что нет числа, каким бы большим оно ни было, которое могло бы быть отождествлено с неопределённо большим в том смысле, в каком мы его понимаем; и, разумеется, то же самое также истинно и для того, чем является неопределённо малое. Можно лишь рассматривать число как практически неопределённое, если позволительно так выразиться, когда его уже нельзя ни выразить в языке, ни изобразить письменно, что фактически неизбежно и происходит в данный момент, когда рассматриваются числа, всегда возрастающие или всегда уменьшающиеся; здесь, если угодно, вопрос просто «видения», но само это соответствует в итоге характеру неопределённости в той мере, в какой она в конечном счете есть не что иное, как то, чьи пределы могут быть не устранены, поскольку это противоречило бы самой природе вещей, но просто отодвинуты до такой степени, что они полностью теряются из виду. В связи с этим было бы уместно поставить некоторые довольно любопытные вопросы: так, можно было бы спросить, почему китайский язык символически изображает неопределённое числом десять тысяч; выражение «десять тысяч существ» означает, например, всех существ, которые реально имеются в неопределённом или «неисчислимом» множестве. Весьма замечательно, что в точности то же самое происходит также и в греческом языке, где одно-единственное слово с простым различием в диакритике, которое, очевидно, является совершенно второстепенной деталью и которое, несомненно, вызвано лишь потребностью различить использование двух значений, служит в равной мере выражению одновременно и той, и другой идеи: μύριοι, десять тысяч; μυρίοι, неопределённое. Истинная причина этого факта в следующем: это число десять тысяч есть четвертая степень десяти; следуя формуле «Дао дэ цзин», «одно порождает два, два порождает три, три порождает все числа», что подразумевает, что четыре, непосредственно порожденное числом три, некоторым образом равно всей совокупности чисел, и это так, потому что как только мы получаем четверицу, то получаем также посредством добавления четырёх первых чисел, и десятерицу, которая изображает полный числовой цикл: 1 + 2 + 3 + 4 = 10; это, как мы уже говорили по другому поводу, и есть пифагорейский Тетраксис. Можно также добавить, что такое изображение числовой неопределённости имеет своё соответствие в пространственном порядке: известно, что возведение в высшую степень представляет собой на этом уровне добавление одного измерения; наше пространство, имеет лишь три измерения; его границы преодолеваются, когда выходим за пределы третьей степени, что, иными словами, означает, что возведение в четвертую степень знаменует саму границу его неопределённости, поскольку, как только оно осуществляется, мы тем самым выходим из этого пространства и переходим на другой уровень возможностей.
- 1. Согласно определению обратных чисел единица изображается, с одной стороны, в форме 1, а с другой – в форме 1/1, так что 1 × 1/1 = 1; но, поскольку, с другой стороны, 1/1 = 1, это одна и та же единица, которая рассматривается в двух различных формах и которая, следовательно, как мы выше говорили, сама является себе обратной. ↑
- 2. Мы говорим неразделимой, потому что, если одно из этих двух чисел, образующих такую пару, существует, то тем самым неизбежно существует и другое. ↑
- 3. Само собой разумеется, что несоизмеримые числа в отношении величины неизбежно размещаются между обычными числами, целыми или дробными в зависимости от того, являются ли они большими или меньшими, чем единица; именно это и доказывает, между прочим, геометрическое соответствие, на которое мы ранее указывали, а также возможность определить такое число двумя совпадающими совокупностями соизмеримых чисел, для которых оно является общим пределом. ↑