Chapitre X Infini et continu
L’idée de l’infini tel que l’entend le plus souvent Leibnitz, et qui est seulement, il ne faut jamais le perdre de vue, celle d’une multitude qui surpasse tout nombre, se présente quelquefois sous l’aspect d’un « infini discontinu », comme dans le cas des séries numériques dites infinies ; mais son aspect le plus habituel, et aussi le plus important en ce qui concerne la signification du calcul infinitésimal, est celui de l’« infini continu ». Il convient de se souvenir à ce propos que, quand Leibnitz, en commençant les recherches qui devaient, du moins suivant ce qu’il dit lui-même, le conduire à la découverte de sa méthode, opérait sur des séries de nombres, il n’avait à considérer que des différences finies au sens ordinaire de ce mot ; les différences infinitésimales ne se présentèrent à lui que quand il s’agit d’appliquer le discontinu numérique au continu spatial. L’introduction des différentielles se justifiait donc par l’observation d’une certaine analogie entre les variations respectives de ces deux modes de la quantité ; mais leur caractère infinitésimal provenait de la continuité des grandeurs auxquelles elles devaient s’appliquer, et ainsi la considération des « infiniment petits » se trouvait, pour Leibnitz, étroitement liée à la question de la « composition du continu ».
Les « infiniment petits » pris « à la rigueur » seraient, comme le pensait Bernoulli, des « partes minimae » du continu ; mais précisément le continu, tant qu’il existe comme tel, est toujours divisible, et, par suite, il ne saurait avoir de « partes minimae ». Les « indivisibles » ne sont pas même des parties de ce par rapport à quoi ils sont indivisibles, et le « minimum » ne peut ici se concevoir que comme limite ou extrémité, non comme élément : « La ligne n’est pas seulement moindre que n’importe quelle surface, dit Leibnitz, mais elle n’est pas même une partie de la surface, mais seulement un minimum ou une extrémité » ; et l’assimilation entre extremum et minimum peut ici se justifier, à son point de vue, par la « loi de continuité », en tant que celle-ci permet, suivant lui, le « passage à la limite », ainsi que nous le verrons plus loin. Il en est de même, comme nous l’avons déjà dit, du point par rapport à la ligne, et aussi, d’autre part, de la surface par rapport au volume ; mais, par contre, les éléments infinitésimaux doivent être des parties du continu, sans quoi ils ne seraient même pas des quantités ; et ils ne peuvent l’être qu’à la condition de ne pas être des « infiniment petits » véritables, car ceux-ci ne seraient autre chose que ces « partes minimae » ou ces « derniers éléments » dont, à l’égard du continu, l’existence même implique contradiction. Ainsi, la composition du continu ne permet pas que les infiniment petits soient plus que de simples fictions ; mais, d’un autre côté, c’est pourtant l’existence de ce même continu qui fait que ce sont, du moins aux yeux de Leibnitz, des « fictions bien fondées » : si « tout se fait dans la géométrie comme si c’étaient de parfaites réalités », c’est parce que l’étendue, qui est l’objet de la géométrie, est continue ; et, s’il en est de même dans la nature, c’est parce que les corps sont également continus, et parce qu’il y a aussi de la continuité dans tous les phénomènes tels que le mouvement, dont ces corps sont le siège, et qui sont l’objet de la mécanique et de la physique. D’ailleurs, si les corps sont continus, c’est parce qu’ils sont étendus, et qu’ils participent de la nature de l’étendue ; et, de même, la continuité du mouvement et des divers phénomènes qui peuvent s’y ramener plus ou moins directement provient essentiellement de leur caractère spatial. C’est donc, en somme, la continuité de l’étendue qui est le véritable fondement de toutes les autres continuités qui se remarquent dans la nature corporelle ; et c’est d’ailleurs pourquoi, introduisant à cet égard une distinction essentielle que Leibnitz n’avait pas faite, nous avons précisé que ce n’est pas à la « matière » comme telle, mais bien à l’étendue, que doit être attribuée en réalité la propriété de « divisibilité indéfinie ».
Nous n’avons pas à examiner ici la question des autres formes possibles de la continuité, indépendantes de sa forme spatiale ; en effet, c’est toujours à celle-ci qu’il faut en revenir quand on envisage des grandeurs, et ainsi sa considération suffit pour tout ce qui se rapporte aux quantités infinitésimales. Nous devons cependant y joindre la continuité du temps, car, contrairement à l’étrange opinion de Descartes à ce sujet, le temps est bien réellement continu en lui-même, et non pas seulement dans la représentation spatiale par le mouvement qui sert à sa mesure. À cet égard, on pourrait dire que le mouvement est en quelque sorte doublement continu, car il l’est à la fois par sa condition spatiale et par sa condition temporelle ; et cette sorte de combinaison du temps et de l’espace, d’où résulte le mouvement, ne serait pas possible si l’un était discontinu tandis que l’autre est continu. Cette considération permet en outre d’introduire la continuité dans certaines catégories de phénomènes naturels qui se rapportent plus directement au temps qu’à l’espace, bien que s’accomplissant dans l’un et dans l’autre également, comme, par exemple, le processus d’un développement organique quelconque. On pourrait d’ailleurs, pour la composition du continu temporel, répéter tout ce que nous avons dit pour celle du continu spatial, et, en vertu de cette sorte de symétrie qui existe sous certains rapports, comme nous l’avons expliqué ailleurs, entre l’espace et le temps, on aboutirait à des conclusions strictement analogues : les instants, conçus comme indivisibles, ne sont pas plus des parties de la durée que les points ne sont des parties de l’étendue, ainsi que le reconnaît également Leibnitz, et c’était d’ailleurs là encore une thèse tout à fait courante chez les scolastiques ; en somme, c’est un caractère général de tout continu que sa nature ne comporte pas l’existence de « derniers éléments ».
Tout ce que nous avons dit jusqu’ici montre suffisamment dans quel sens on peut comprendre que, au point de vue où se place Leibnitz, le continu enveloppe nécessairement l’infini ; mais, bien entendu, nous ne saurions admettre qu’il s’agisse là d’une « infinité actuelle », comme si toutes les parties possibles devaient être effectivement données quand le tout est donné, ni d’ailleurs d’une véritable infinité, qui est exclue par toute détermination, quelle qu’elle soit, et qui ne peut par conséquent être impliquée par la considération d’aucune chose particulière. Seulement, ici comme dans tous les cas où se présente l’idée d’un prétendu infini, différent du véritable Infini métaphysique, et qui pourtant, en eux-mêmes, représentent autre chose que des absurdités pures et simples, toute contradiction disparaît, et avec elle toute difficulté logique, si l’on remplace ce soi-disant infini par de l’indéfini, et si l’on dit simplement que tout continu enveloppe une certaine indéfinité lorsqu’on l’envisage sous le rapport de ses éléments. C’est encore faute de faire cette distinction fondamentale de l’infini et de l’indéfini que certains ont cru à tort qu’il n’était possible d’échapper à la contradiction d’un infini déterminé qu’en rejetant absolument le continu et en le remplaçant par du discontinu ; c’est ainsi notamment que Renouvier, qui nie avec raison l’infini mathématique, mais à qui l’idée de l’Infini métaphysique est d’ailleurs tout à fait étrangère, s’est cru obligé, par la logique de son « finitisme », d’aller jusqu’à admettre l’atomisme, tombant ainsi dans une autre conception qui, comme nous l’avons vu précédemment, n’est pas moins contradictoire que celle qu’il voulait écarter.
Глава X Бесконечное и непрерывное
Идея бесконечности, как её чаще всего понимает Лейбниц, и которая, что никогда нельзя упускать из виду, является лишь идеей множества, которое превосходит любое число, изображается иногда в аспекте «дискретной бесконечности», как в случае числовых рядов, называемых бесконечными; но самый её обычный аспект, а также самый важный в том, что касается значения исчисления бесконечно малых, – это аспект «непрерывной бесконечности». Необходимо по этому поводу напомнить, что когда Лейбниц, начиная исследования, которые должны были бы по меньше мере согласно тому, что он сам говорит, привести его к открытию своего метода, работал над рядами чисел, он рассматривал лишь конечные разности в обычном смысле слова; разности бесконечно малых возникали перед ним лишь тогда, когда речь шла о применении числовой дискретности к пространственной непрерывности. Введение дифференциалов обосновывалось, следовательно, наблюдением некоторой аналогии между изменениями, соответствующими этим двум видам количества; но их признак бесконечно малых величин происходил от непрерывности величин, к которым они должны были применяться, и таким образом рассмотрение «бесконечно малых» оказывалось у Лейбница тесно связанным с вопросом о «составе непрерывного».
«Бесконечно малые», взятые «в строгом смысле», могли бы быть, как считал Бернулли, partes minimae непрерывного; но именно непрерывное, поскольку оно как таковое существует, всегда делимо и, как следствие, оно не могло бы иметь partes minimae. «Неделимые» не являются даже частями того, по отношению к чему они неделимы, и минимум может быть здесь понят лишь как предел или граница, но не как элемент: «Линия не только не меньше, чем любая поверхность, – говорит Лейбниц, – но она не является даже и частью поверхности, и представляет собой лишь минимум или предел»; и подобие между extremum и minimum может быть здесь обосновано, с его точки зрения, «законом непрерывности» в той мере, в какой он допускает, согласно ему, «переход к пределу», как мы далее это увидим. Так же, как мы уже говорили, обстоит дело и с точкой по отношению к линии, и кроме того, с поверхностью по отношению к объему; но бесконечно малые элементы, напротив, должны быть частями непрерывного, без чего они не были бы даже величинами; и они могли бы быть таковыми лишь при условии, что они не являются истинными «бесконечно малыми» или теми «последними элементами», само существование которых по отношению к непрерывному подразумевает противоречие. Таким образом, состав непрерывного не допускает, чтобы бесконечно малые были чем-то большим, чем простые фикции; но, с другой стороны, именно существование этого непрерывного делает эти фикции, по меньшей мере в глазах Лейбница, «прочно обоснованными»: если «в геометрии все делается так, как если бы это были совершенно реальные сущности», то потому, что протяженность, являющаяся объектом геометрии, непрерывна; и если точно так же обстоит дело в природе, то потому, что тела также являются непрерывными, и потому, что имеется непрерывность во всех феноменах, таких как движение, местонахождением которого являются тела, и которые являются объектом механики и физики. Между прочим, если тела являются непрерывными, то потому, что они являются протяженными и потому что они причастны природе протяженности; и кроме того, непрерывность движения и различных феноменов, которые могли быть к нему в той или иной мере непосредственно сведены, происходит, в сущности, из их пространственного характера. Следовательно, в конечном счете непрерывность протяженности и есть истинное основание всех иных непрерывностей, которые наблюдаются в телесной природе; и именно поэтому, вводя в этой связи важнейшее различие, которого Лейбниц не делал, мы уточняем, что не «материи» как таковой, но протяженности должно на самом деле приписываться свойство «неопределённой делимости».
Мы не должны здесь рассматривать вопрос о других возможных формах непрерывности, независимых от её пространственной формы; на самом деле всегда обращаются именно к ней, когда рассматривают величины, и таким образом её рассмотрения достаточно для всего того, что имеет отношение к бесконечно малым величинам. Тем не менее мы должны к этому добавить непрерывность времени, так как, вопреки странному мнению Декарта по этому поводу, время на само деле является само по себе непрерывным, а не только в пространственном изображении посредством движения, которое служит его мерой. По этому поводу можно было бы сказать, что движение является в некотором отношении вдвойне непрерывным, так как оно является таковым одновременно и в силу своего пространственного условия, и в силу условия времени; и таким образом сочетание времени и пространства, из которого следует движение, было бы невозможно, если бы одно было дискретным, а другое непрерывным. Такой подход позволяет, помимо прочего, ввести непрерывность в некоторые категории природных феноменов, связанные более непосредственно с временем, чем с пространством, хотя и происходящие и в равной мере и в том и в другом, как, например, процесс какого-либо органического развития. Впрочем, можно было бы в отношении состава непрерывного времени повторить всё то, что мы говорили о составе непрерывности пространства, и, в силу такого рода симметрии, которая в некоторых отношения существует, как мы уже объясняли, между пространством и временем, прийти к строго аналогичным заключениям: мгновения, понятые как неделимые, не являются частицами длительности, как и точки не являются частями протяженности, что признает и сам Лейбниц, и здесь перед нами ещё один тезис, совершенно обычный у схоластов; в конечном счете общим признаком непрерывного целого является то, что его природа не предполагает существования «последних элементов».
Все то, о чем мы до сих пор здесь говорили, в достаточной мере показывает, в каком смысле можно понимать, что, с той точки зрения, на которой располагается Лейбниц, непрерывное неизбежно включает в себя бесконечное; но, разумеется, мы не могли бы допустить, что речь здесь могла бы идти об «актуальной бесконечности», как если бы все возможные части должны были бы действительно быть данными, когда дано целое, или, помимо прочего, об истинной бесконечности, которая исключает любое определение, каким бы оно ни было, и которая, как следствие, не может подразумеваться ни при каком рассмотрении какой-либо частной вещи. Однако здесь, как и в любом случае, где изображается идея мнимой бесконечности, отличная от истинной метафизической бесконечности и представляющая собой не что иное, как простую абсурдность, любое противоречие исчезает, а вместе с ним любое логическое затруднение, если заменить эту так называемую бесконечность неопределённостью и если просто сказать, что любое непрерывное содержит в себе некоторую неопределённость, когда его рассматривают в связи с его элементами. Как раз в силу неспособности сделать такое фундаментальное различие бесконечного и неопределённого некоторые ошибочно и полагают, что избежать противоречия определённой бесконечности можно, только полностью отвергнув непрерывное и заменив его дискретным; в частности, Ренувье, справедливо отрицавший математическую бесконечность, но в равной мере чуждый и идее метафизической бесконечности, считал себя обязанным, в силу логики своего «финитизма», допускать даже атомизм, обращаясь тем самым к другой концепции, которая, как мы видели ранее, не менее противоречива, чем та, что он желал отвергнуть.