Глава XI «Закон непрерывности»
Поскольку существует непрерывное, мы можем вместе с Лейбницем сказать, что в природе имеется непрерывность или, если угодно, что должен быть некий «закон непрерывности», применимый ко всему, что имеет признаки непрерывного; это в конечном счете очевидно, но из этого ни в коей мере не следует, что такой закон должен быть применим, как он утверждает, ко всему, так как, если существует непрерывное, то существует также и дискретное, в том числе и в области количества:1 на самом деле число по своей сути дискретно, и как раз эта самая дискретная величина, а не величина непрерывная, и является в реальности, как мы об этом уже говорили, первой и фундаментальной формой количества или того, что можно было бы назвать, собственно говоря, чистым количеством.2 С другой стороны, ничто не позволяет предположить a priori, что вне количества могла бы рассматриваться какая-либо непрерывность, и даже, правду сказать, было бы удивительно, что одно только число из всех возможных вещей обладает свойством быть исключительно дискретным; но наше намерение не заключается в том, чтобы исследовать здесь, в каких границах «закон непрерывности» на самом деле применим и какие ограничения были бы необходимы, чтобы распространить его на всё то, что превосходит область количества, понятого в его самом общем смысле. Мы ограничимся тем, что приведем в том, что касается природных феноменов, весьма простой пример дискретности: если необходима некоторая сила, чтобы разорвать веревку, и если применить к этой веревке силу, интенсивность которой будет меньше, чем требуется, то мы не получим частичного разрыва, то есть разрыва одной части нитей, которые составляют веревку, но получим лишь напряжение, что разумеется, совершенно не то, что нужно; если увеличивать силу непрерывным образом, напряжение также будет вначале непрерывно возрастать, но наступит момент, когда разрыв произойдет, и тогда, внезапно и в каком-то роде мгновенно, возникнет эффект совершенно иной природы, чем предшествующий, что явным образом и предполагает дискретность; и поэтому было бы неверно утверждать, в совершенно общих терминах и без какого-либо рода ограничений, что natura поп facit saltus.
Как бы то ни было, в любом случае достаточно, чтобы геометрические величины были непрерывными, какими на самом деле они и являются, чтобы можно было всегда брать оттуда элементы насколько угодно малые, то есть способные становиться меньшими, чем любая значимая величина; и как об этом говорит Лейбниц, «несомненно, именно в этом и заключается строгое доказательство исчисления бесконечно малых», которое как раз и применимо к геометрическим величинам. «Закон непрерывности» может, следовательно, быть fondamentum in re тех фикций, какими являются бесконечно малые величины, а также, между прочим, и тех иных фикций, какими являются воображаемые корни, поскольку Лейбниц в этой связи сближает их друг с другом, не усматривая в этом, как он, возможно, желал, «камень преткновения для всякой истины».3 С другой стороны, если допустить «закон непрерывности», накладывая некоторые ограничения на его значение, и даже если признать, что такой закон мог служить обоснованием исчисления бесконечно малых, modo sano sensu intelligantur, из этого ни в коей мере не следует, что необходимо его понимать именно так, как это делал Лейбниц, и принимать все последствия, которые сам он стремился из него вывести; именно эту концепцию и эти следствия нам теперь и предстоит изучить более внимательно.
В самом общем виде этот закон сводится в итоге к тому, что Лейбниц неоднократно высказывал в различных терминах, но смысл чего всегда, в сущности, оставался тем же самым: поскольку имеется определенный порядок принципов, понимаемых здесь в относительном смысле данных, которые принимаются в качестве исходного пункта, то должен быть всегда и соответствующий порядок в тех следствиях, которые из них будут извлечены. Это, как мы уже указывали, частный случай «закона справедливости», то есть порядка, который постулирует «универсальная интеллигибельность»; для Лейбница это, в сущности, следствие или применение «принципа достаточного основания», если не сам этот принцип, применяемый более специально к комбинациям или к изменениям количества: «непрерывность есть нечто идеальное», говорит он, что, впрочем, далеко не столь ясно, как того хотелось бы, «но реальность не допускает, чтобы ею управлял идеал или абстракция, ...потому что все управляется разумом».4 Разумеется, есть определенный порядок вещей, и это здесь не ставится под сомнение, но можно мыслить этот порядок совершенно иначе, чем это делает Лейбниц, идеи которого в этом отношении всегда находились под более или менее непосредственным влиянием его так называемого «принципа наилучшего», которые теряет все своё значение, как только мы понимаем метафизическое тождество возможного и реального;5 более того, хотя он и был явным противником картезианского рационализма, можно, что касается его концепции «универсальной интеллигибельности», упрекнуть его в том что он слишком легко смешивал «интеллигибельное» и «рациональное»; но мы не будем более задерживаться на этих рассуждениях общего порядка, так как они нас увели бы слишком далеко от нашей темы. Мы только добавим по этому поводу, что вызывает удивление, что после того, как он утверждал, что «нет нужды ставить математический анализ в зависимость от метафизических споров», что, между прочим, вовсе не бесспорно, поскольку это значило бы сделать из математики, следуя чисто профанной точке зрения, науку, полностью игнорирующую свои собственные принципы, и что, впрочем, одно лишь непонимание могло породить споры в метафизической области, Лейбницу в конце концов приходится в подтверждение своего «закона причинности», с которым он связывает сам этот математический анализ, обратиться к аргументу уже на самом деле не метафизическому, а теологическому, который мог бы вызвать и множество иных споров: «Именно поэтому все управляется разумом, говорит он, и поэтому в ином случае не было бы ни науки, ни правила, что не соответствовало бы природе высшего принципа»,6 на что можно было бы ответить, что разум на самом делеявляется только человеческой способностью индивидуального уровня, и что, даже не поднимаясь до «высшего принципа», умозрение, понимаемое в универсальном смысле, то есть как чистый и трансцендентный интеллект, есть нечто совершенно иное, чем разум, и не может быть никоим образом ему подобным, так что, если верно, что нет ничего «иррационального», то тем не менее существует много вещей, которые являются «сверхрациональными», но которые, между прочим, не становятся от этого менее «интеллигибельными».
Мы перейдем теперь к другому, более точному выражению «закона непрерывности», выражению, которое более непосредственно, чем предшествующее, связано с принципами исчисления бесконечно малых: «Если один случай непрерывно связывается в данных с другим случаем и в конце концов в нем растворяется, то необходимо, чтобы следствия этих случаев так же непрерывно связывались в искомых решениях и чтобы в конечном счете они взаимно завершались друг в друге».7 Здесь есть две вещи, которые необходимо различать: прежде всего, если различие двух случаев уменьшается до того, что становится меньшим, чем любая значимая величина in datis, то оно также должно быть in quaesitis; это в конечном счете лишь применение более общего выражения, и вовсе не эта сторона закона способна вызвать возражения, поскольку допускается, что существуют непрерывные изменения и что именно к той области, где осуществляются такие изменения, то есть к геометрической области, и относится, собственно говоря, исчисление бесконечно малых; но следует ли помимо этого допустить, что casus in casum tandem evanescat, и что, как следствие, eventus casuum tandem in se invicem desinant? Иными словами, должно ли различие двух случаев быть всегда строго нулевым вследствие его непрерывного и неопределённого уменьшения, или же, если угодно, такое уменьшение, хотя и неопределённое, сумеет достичь своего завершения? Здесь, по сути дела, вопрос в том, чтобы знать, может ли в непрерывном изменении быть достигнут предел; и вслед за этим мы прежде всего отметим следующее: поскольку неопределённое, каким оно подразумевается в непрерывном, всегда содержит в себе нечто в некотором отношении «неисчерпаемое», и поскольку Лейбниц, между прочим, не допускает, что деление непрерывного может дойти до конечного завершения, и даже что такое завершение действительно существует, то не является ли совершенно логичным и последовательным с его стороны в то же самое время допустить, что непрерывное изменение, которое осуществляется per infinitos gradus intermedios,8 может дойти до своего завершения? Это не означает, разумеется, что предел не может быть достигнут никоим образом, что привело бы исчисление бесконечно малых к тому, что оно уже не могло бы быть чем-то иным, кроме простого метода приближения; но если он на самом деле достижим, это не должно быть ни в самом непрерывном изменении, ни как окончательное завершение неопределённого ряда gradus mutationis. Тем не менее именно посредством «закона непрерывности» Лейбниц стремится обосновать «переход к пределу», который не является самым меньшим из тех затруднений, что вызывает его метод с логической точки зрения, и именно здесь его выводы становятся совершенно неприемлемыми; но чтобы эта сторона вопроса могла быть полностью понята, нам необходимо начать с уточнения математического понятия самого предела.
- 1. См.: Кутюра Л. О математической бесконечности. «Вообще, принцип непрерывности не имеет места в алгебре, и не может упоминаться для обоснования алгебраического обобщения числа. Не только непрерывность ни в коей мере не необходима для спекуляций общей арифметики, но она претит самому духу этой науки и самой природе числа. На самом деле число по своей сути является дискретным, как и почти все его арифметические свойства... Нельзя, следовательно, наделять непрерывность алгебраическими функциями, какими бы сложными они ни были, поскольку целое число, которое составляет все её элементы, является дискретным и в каком-то отношении «перескакивает» от одного значения к другому без возможного перехода». ↑
- 2. См.: «Царство количества и знамения времени», глава II. ↑
- 3. Кутюра Л. О математической бесконечности, стр. 266. ↑
- 4. Уже цитированное письмо Вариньону от 2 февраля 1702 г. ↑
- 5. См.: «Множественные состояния существа». Глава II. ↑
- 6. То же самое письмо Вариньону. – Первое изложение «закона непрерывности» появилось в Nouvelles de la République des Lettres, в июле 1687 г., под этим весьма значительным с той же самой точки зрения заголовком: Principium quoddam generale non in Mathematicis tantum sed et Physicis utile, cujus ope ex consideratione Sapientia Divinæ examinantur Natura Leges, qua occasione nata cum R. P. Mallebranchio controversia explicatur, et quidam Cartesianorum errores notantur. ↑
- 7. Specimen Dynamicum pro admirandis Naturae Legibus circa corporum vires et mutuas actiones detegendis et ad suas causas revocandis. Pars II. ↑
- 8. Письмо Шуленбургу от 29 марта 1698 г. ↑