Глава XII. Понятие предела - Минский корпус Рене Генона

Chapitre XII La notion de la limite

La notion de la limite est une des plus importantes que nous ayons à examiner ici, car c’est d’elle que dépend toute la valeur de la méthode infinitésimale sous le rapport de la rigueur ; on a même pu aller jusqu’à dire que, en définitive, « tout l’algorithme infinitésimal repose sur la seule notion de limite, car c’est précisément cette notion rigoureuse qui sert à définir et à justifier tous les symboles et toutes les formules du calcul infinitésimal »¹. En effet, l’objet de ce calcul « se réduit à calculer des limites de rapports et des limites de sommes, c’est-à-dire à trouver les valeurs fixes vers lesquelles convergent des rapports ou des sommes de quantités variables, à mesure que celles-ci décroissent indéfiniment suivant une loi donnée »². Pour plus de précision encore, nous dirons que, des deux branches en lesquelles se divise le calcul infinitésimal, le calcul différentiel consiste à calculer les limites de rapports dont les deux termes vont simultanément en décroissant indéfiniment suivant une certaine loi, de telle façon que le rapport lui-même conserve toujours une valeur finie et déterminée ; et le calcul intégral consiste à calculer les limites de sommes d’éléments dont la multitude croît indéfiniment en même temps que la valeur de chacun d’eux décroît indéfiniment, car il faut que ces deux conditions soient réunies pour que la somme elle-même demeure toujours une quantité finie et déterminée. Cela posé, on peut dire, d’une façon générale, que la limite d’une quantité variable est une autre quantité considérée comme fixe, et dont cette quantité variable est supposée s’approcher, par les valeurs qu’elle prend successivement au cours de sa variation, jusqu’à en différer aussi peu qu’on le veut, ou, en d’autres termes, jusqu’à ce que la différence de ces deux quantités devienne moindre que toute quantité assignable. Le point sur lequel nous devons insister tout particulièrement, pour des raisons qui seront mieux comprises par la suite, c’est que la limite est conçue essentiellement comme une quantité fixe et déterminée ; alors même qu’elle ne serait pas donnée par les conditions du problème, on devra toujours commencer par lui supposer une valeur déterminée, et continuer à la regarder comme fixe jusqu’à la fin du calcul.

Mais autre chose est la conception de la limite en elle-même, et autre chose la justification logique du « passage à la limite » ; Leibnitz estimait que « ce qui justifie en général ce « passage à la limite », c’est que la même relation qui existe entre plusieurs grandeurs variables subsiste entre leurs limites fixes, quand leurs variations sont continues, car alors elles atteignent en effet leurs limites respectives ; c’est là un autre énoncé du principe de continuité »³. Mais toute la question est précisément de savoir si la quantité variable, qui s’approche indéfiniment de sa limite fixe, et qui, par suite, peut en différer aussi peu qu’on le veut, d’après la définition même de la limite, peut atteindre effectivement cette limite par une conséquence de sa variation même, c’est-à-dire si la limite peut être conçue comme le dernier terme d’une variation continue. Nous verrons que, en réalité, cette solution est inacceptable ; pour le moment, nous dirons seulement, quitte à y revenir un peu plus tard, que la vraie notion de la continuité ne permet pas de considérer les quantités infinitésimales comme pouvant jamais s’égaler à zéro, car elles cesseraient alors d’être des quantités ; or, pour Leibnitz lui-même, elles doivent toujours garder le caractère de véritables quantités, et cela même quand on les considère comme « évanouissantes ». Une différence infinitésimale ne pourra donc jamais être rigoureusement nulle ; par suite, une variable, tant qu’elle sera regardée comme telle, différera toujours réellement de sa limite, et elle ne pourrait l’atteindre sans perdre par là même son caractère de variable.

Sur ce point, nous pouvons donc accepter entièrement, à part une légère réserve, les considérations qu’un mathématicien que nous avons déjà cité expose en ces termes : « Ce qui caractérise la limite telle que nous l’avons définie, c’est à la fois que la variable puisse en approcher autant qu’on le veut, et néanmoins qu’elle ne puisse jamais l’atteindre rigoureusement ; car, pour qu’elle l’atteignît en effet, il faudrait la réalisation d’une certaine infinité, qui nous est nécessairement interdite... Aussi doit-on s’en tenir à l’idée d’une approximation indéfinie, c’est-à-dire de plus en plus grande »⁴. Au lieu de parler de « la réalisation d’une certaine infinité », ce qui ne saurait avoir pour nous aucun sens, nous dirons simplement qu’il faudrait qu’une certaine indéfinité fût épuisée en ce qu’elle a précisément d’inépuisable, mais que, en même temps, les possibilités de développement que comporte cette indéfinité même permettent d’obtenir une approximation aussi grande qu’on le veut, « ut error fiat minor dato », suivant l’expression de Leibnitz, pour qui « la méthode est sûre » dès que ce résultat est atteint. « Le propre de la limite et ce qui fait que la variable ne l’atteint jamais exactement, c’est d’avoir une définition autre que celle de la variable ; et la variable, de son côté, tout en approchant de plus en plus de la limite, ne l’atteint pas, parce qu’elle ne doit jamais cesser de satisfaire à sa définition primitive, laquelle, disons-nous, est différente. La distinction nécessaire entre les deux définitions de la limite et de la variable se retrouve partout... Ce fait, que les deux définitions sont logiquement distinctes et telles, néanmoins, que les objets définis peuvent s’approcher de plus en plus l’un de l’autre⁵, rend compte de ce que paraît avoir d’étrange, au premier abord, l’impossibilité de faire coïncider jamais deux quantités dont on est maître d’ailleurs de diminuer la différence au delà de toute expression »⁶.

Il est à peine besoin de dire que, en vertu de la tendance moderne à tout réduire exclusivement au quantitatif, on n’a pas manqué de reprocher à cette conception de la limite d’introduire une différence qualitative dans la science de la quantité elle-même ; mais, s’il fallait l’écarter pour cette raison, il faudrait également que la géométrie s’interdise entièrement, entre autres choses, la considération de la similitude, qui est purement qualitative aussi, ainsi que nous l’avons déjà expliqué ailleurs, puisqu’elle ne concerne que la forme des figures en faisant abstraction de leur grandeur, donc de tout élément proprement quantitatif. Il est d’ailleurs bon de remarquer, à ce propos, qu’un des principaux usages du calcul différentiel est de déterminer les directions des tangentes en chaque point d’une courbe, directions dont l’ensemble définit la forme même de la courbe, et que direction et forme sont précisément, dans l’ordre spatial, des éléments dont le caractère est essentiellement qualitatif⁷. Au surplus, ce n’est pas une solution que de prétendre supprimer purement et simplement le « passage à la limite », sous prétexte que le mathématicien peut se dispenser d’y passer effectivement, et que cela ne le gênera nullement pour conduire son calcul jusqu’au bout ; cela peut être vrai, mais ce qui importe est ceci : jusqu’à quel point, dans ces conditions, aura-t-il le droit de considérer ce calcul comme reposant sur un raisonnement rigoureux, et, même si « la méthode est sûre » ainsi, ne sera-ce pas seulement en tant que simple méthode d’approximation ? On pourrait objecter que la conception que nous venons d’exposer rend aussi impossible le « passage à la limite », puisque cette limite a justement pour caractère de ne pouvoir être atteinte ; mais cela n’est vrai qu’en un certain sens, et seulement tant que l’on considère les quantités variables comme telles, car nous n’avons pas dit que la limite ne pouvait aucunement être atteinte, mais, et c’est là ce qu’il est essentiel de bien préciser, quelle ne pouvait pas l’être dans la variation et comme terme de celle-ci. Ce qui est véritablement impossible, c’est uniquement la conception du « passage à la limite » comme constituant l’aboutissement d’une variation continue ; nous devons donc substituer une autre conception à celle-là, et c’est ce que nous ferons plus explicitement par la suite.

1. L. Couturat, De l’infini mathématique, Introduction, p. XXIII.⁠ ↑
2. Ch. de Freycinet, De l’Analyse infinitésimale, Préface, p. VIII.⁠ ↑
3. L. Couturat, De l’infini mathématique, p. 268, note. — C’est le point de vue qui est exposé notamment dans la Justification du Calcul des infinitésimales par celui de l’Algèbre ordinaire.⁠ ↑
4. Ch. de Freycinet, De l’Analyse infinitésimale, p. 18.⁠ ↑
5. Il serait plus exact de dire que l’un d’eux peut s’approcher de plus en plus de l’autre, puisqu’un seul de ces objets est variable, tandis que l’autre est essentiellement fixe, et qu’ainsi, en raison même de la définition de la limite, leur rapprochement ne peut aucunement être considéré comme constituant une relation réciproque et dont les deux termes seraient en quelque sorte interchangeables ; cette irréciprocité implique d’ailleurs que leur différence est d’ordre proprement qualitatif.⁠ ↑
6. Ibid., p. 19.⁠ ↑
7. Voir Le Règne de la Quantité et les Signes des Temps, ch. IV.⁠ ↑

Глава XII Понятие предела

Понятие предела является одним из наиболее важных понятий, которые мы здесь должны изучить, так как именно от него зависит все значение метода исчисления бесконечно малых в его строгом соблюдении; можно даже дойти до утверждения, что в конечном счете «весь алгоритм исчисления бесконечно малых основывается на одном лишь понятии предела, так как именно это строгое понятие используется для определения и обоснования всех символов и всех формул исчисления бесконечно малых».¹ На самом деле цель этого исчисления «сводится к исчислению пределов соотношений и пределов сумм, то есть к поиску постоянных значений, к которым сводятся соотношения или суммы переменных величин, по мере того как они до неопределённости возрастают, следуя данному закону».² Для ещё большей точности мы скажем, что из двух отраслей, на которые разделяется исчисление бесконечно малых, дифференциальное исчисление состоит в вычислении пределов соотношений, два члена которых одновременно возрастают до неопределённости в соответствии с определённым законом таким образом, что само отношение всегда сохраняет конечное и определённое значение; а интегральное исчисление состоит в вычислении пределов сумм элементов, множество которых возрастает до неопределённости в то же самое время, когда значение каждого из них до неопределённости уменьшается, так как необходимо, чтобы эти два условия были соединены, чтобы сама сумма всегда оставалась определённой и конечной величиной. Когда это установлено, то можно, вообще говоря, утверждать, что предел переменной величины представляет собой другую величину, рассматриваемую как постоянная, и к которой, как предполагается, эта переменная величина приближается посредством значений, которые она последовательно принимает в ходе своего изменения, пока не будет от неё отличаться насколько угодно мало, или, иными словами, пока различие этих двух величин не станет меньше, чем любая определённая величина. Пункт, на котором мы должны особенно настаивать, по причинам, которые будут более понятными впоследствии, – то, что предел, в сущности, понимается как постоянная и определённая величина; даже когда она не была задана условиями задачи, следует всегда начинать с того, чтобы задавать ей определённое значение и продолжать рассматривать её как постоянную до конца вычислений.

Но совсем иное – это концепция предела самого по себе, и совсем иное – логическое обоснование «перехода к пределу»; Лейбниц считал, что «то, что вообще обосновывает этот «переход к пределу» – это тот факт, что то же самое отношение, которое существует между множеством переменных величин, существует и между их постоянными пределами, когда их изменения непрерывны, так как тогда они на самом деле достигают соответствующих им пределов; это иное выражение принципа непрерывности».³ Но вопрос как раз в том, чтобы знать, может ли переменная величина, которая до неопределённости приближается к своему постоянному пределу и которая, как следствие, согласно самому определению предела, может отличаться от него насколько угодно мало, – может ли эта переменная величина действительно достичь этого предела вследствие самого своего изменения, то есть может ли предел быть понят как последний член непрерывного изменения. Мы увидим, что в реальности такое решение неприемлемо; в данный момент скажем только, обещая вернуться к этому немного позже, что истинное понятие непрерывности не позволяет рассматривать бесконечно малые количества как способные когда-либо стать равными нулю, так как они перестали бы тогда быть величинами; для самого же Лейбница они должны всегда сохранять характер настоящих величин, и даже тогда, когда их рассматривают как «исчезающие». Бесконечно малая разность никогда не сможет быть строго нулевой; как следствие, переменная, поскольку она будет рассматриваться как таковая, будет всегда реально отличаться от своего предела, и она не сможет достичь его, не утратив тем самым свой характер переменной.

Вслед за этим мы сможем полностью принять, за исключением одной малозначащей оговорки, те рассуждения, которые один математик, уже нами цитированный, изложил в таких выражениях: «То, что характеризует предел, как мы его определили, так это одновременно и то, что переменная может насколько угодно приближаться к нему, и то, что она тем не менее никогда не сможет его в строгом смысле достичь, так как, чтобы она его действительно достигла, необходимо осуществление некоторой бесконечности, которая для нас неизбежно запрещена... Кроме того, следует придерживаться идеи неопределённой приблизительности, то есть все более и более значительной».⁴ Вместо того чтобы говорить об «осуществлении некоторой бесконечности», что не имело бы для нас никакого смысла, мы просто скажем, что необходимой, чтобы некоторая неопределённость была исчерпана в том, что в ней как раз и имеется неисчерпаемое, но чтобы в то же самое время возможности развития, которые включает в себя сама эта неопределённость, позволяли бы достичь насколько угодно большого приближения, ut error fiat minor dato, согласно выражению Лейбница, для которого «метод надежен», как только результат достигнут. «Свойство предела, в силу которого переменная никогда его точно не достигает, имеет иное определение, нежели определение переменной; а переменная, со своей стороны, все больше и больше приближаясь к своему пределу, не достигает его, потому что она никогда не перестает соответствовать своему первоначальному определению, которое, скажем мы, является иным. Необходимое различие между двумя определениями предела и переменной встречается везде... Тот факт, что два определения являются логически различными и что тем менее такие определённые объекты могут все больше и больше сближаться друг с другом,⁵ обеспечивает то, что может, на первый взгляд, показаться странным, – невозможность совпадения двух величин, различие между которыми имеет полную возможность сокращаться за пределы любого выражения».⁶

Едва ли есть нужда говорить, что в силу современной тенденции все сводить исключительно к количественному, эту концепцию предела не упускают возможности упрекнуть за то, что она вводит качественное различие в науку о самом количестве; но если бы требовалось отвергнуть её по этой причине, то требовалось бы также, чтобы геометрия себе полностью запретила, наряду с другими вещами, рассмотрение подобия, которое также, как мы уже объясняли, является чисто качественным, поскольку оно касается лишь формы фигур, абстрагируясь от их величины, следовательно, от всякого собственно количественного элемента. Впрочем, было справедливо по этому поводу заметить, что одно из главных использований дифференциального исчисления заключается в том, чтобы определить направления касательных в каждой точке кривой, направления, совокупность которых определяет саму форму кривой, и что направление и форма как раз и являются в пространственном порядке элементами, характер которых, в сущности, количественный.⁷ Кроме того, это решение не стремится просто-напросто упразднить «переход к пределу» под предлогом, что математик может уклониться о того, чтобы на самом деле к нему переходить, и что это ни в коей мере не затруднит ему довести свои вычисления до конца; это может быть верным, но важно следующее: до какой степени при таких условиях он вправе рассматривать вычисление как основывающееся на строгом доказательстве, и даже если «метод надежен», не будет ли этот метод всего лишь простым методом приближения? Можно было бы возразить, что концепция, которую мы только что изложили, также делает невозможным «переход к пределу», поскольку этот предел как раз и обладает тем признаком, что он никогда не может быть достигнут; но это верно лишь в некотором смысле, и только в той мере, в какой рассматриваются переменные величины как таковые, так как мы не говорили, что предел никоим образом не может быть достигнут, но, и это здесь весьма важно уточнить, этого не может произойти при изменении и в качестве его завершения. Что действительно невозможно, так это одна лишь концепция «перехода к пределу» как образующая завершение непрерывного изменения; мы должны, следовательно, заменить её другой концепцией, и именно это мы и сделаем впоследствии.

1. Кутюра Л. О математической бесконечности. Введение. С. XXIII.⁠ ↑
2. Фрейсине Ш. де. Об анализе бесконечно малых. Предисловие. С. VIII.⁠ ↑
3. Кутюра Л. О математической бесконечности, стр. 268, примечание. – Это точка зрения, которая, в частности, излагается в «Обосновании исчисления бесконечно малых исчислением обычной алгебры».⁠ ↑
4. См.: Фрейсине Ш. де. Об анализе бесконечно малых, стр. 18.⁠ ↑
5. Было бы точнее сказать, что одна из них может все больше и больше приближаться к другой, поскольку только один из этих объектов переменный, тогда как другой является, в сущности, постоянным, и что поэтому, в силу самого определения предела, их сближение ни в коей мере не может рассматриваться как образующее взаимное отношение, две формы которого были бы в некотором роде взаимозаменяемыми; эта невзаимность подразумевает, между прочим, что их различие принадлежит, собственно, к количественному порядку.⁠ ↑
6. Там же, стр. 19.⁠ ↑
7. См.: «Царство количества и знамения времени», глава IV.⁠ ↑

Назад Далее

Минский корпус Рене Генона

Chapitre XII La notion de la limite

Глава XII Понятие предела

Поиск

Предложить правку