Глава XIII Непрерывность и переход к пределу
Мы можем теперь вернуться к изучению «закона непрерывности» или, точнее, того аспекта этого закона, который мы на мгновение оставили в покое и который является тем аспектом, посредством которого, как полагал Лейбниц, ему удалось обосновать «переход к пределу», потому что для него из этого закона следует, «что в непрерывных величинах крайний исключительный случай может рассматриваться как подтверждающий правило, и поэтому этот последний случай, хотя и совершенно иной по природе, подобен непрерывному в латентном состоянии в общем законе других случаев».1 Именно в этом коренится, хотя, кажется, он об этом и не подозревает, главный логический изъян его концепции непрерывности, как довольно легко убедиться в этом по последствиям, которые он из него извлекает, и по применениям, которые он делает; вот несколько примеров: «В силу моего закона непрерывности позволительно рассматривать покой как бесконечно малое движение, то есть как эквивалент разновидности его противоречия, а совпадение – как бесконечно малую дистанцию, равенство – как последнее из неравенств и т. д.»2 И ещё: «В согласии с этим законом непрерывности, который исключает любой скачок в изменении, случай покоя может рассматриваться как особый случай движения, а именно как движение исчезающее или минимальное, а случай равенства – как случай исчезающего неравенства. Из этого следует, что законы движения должны быть установлены таким образом, чтобы не было нужды в частных правилах для тел в равновесии и в покое, но чтобы эти последние состояния сами рождались из правил, касающихся тел в неравновесии и в движении; или, если мы желаем высказать особые правила для покоя и равновесия, необходимо остерегаться, чтобы они не были такими, что они не смогут согласоваться с гипотезой, принимающей покой за зарождающееся движение, а равенство – за последнее неравенство».3 Добавим также следующую последнюю цитату по данному поводу, где мы обнаружим пример нового рода, несколько отличный от предыдущего, но не менее спорный с логической точки зрения: «Хотя по крайней мере не совсем верно, что покой есть разновидность движения, или что равенство есть разновидность неравенства, как неверно и то, что круг есть разновидность правильного многоугольника, тем не менее можно сказать, что покой, равенство и круг завершают движение, неравенство и правильный многоугольник, которые посредством непрерывных изменений доходят до этого и исчезают. И хотя эти завершения являются исключениями, то есть они, строго говоря, не включены в те разновидности, которые они ограничивают, тем не менее они обладают их свойствами, как если бы они были в них включены, в соответствии с языком бесконечных или бесконечно малых величин, который принимает, например, круг за правильный многоугольник, число сторон которого бесконечно. Иначе закон непрерывности был бы нарушен, то есть поскольку мы переходим от многоугольников к кругу посредством непрерывного изменения и не совершая скачка, то необходимо также, чтобы не было никакого скачка и при переходе от свойств многоугольника к свойствам круга».4
Необходимо сказать, что, как указывает начало последнего отрывка, который мы только что цитировали, Лейбниц рассматривает эти утверждения как разновидность тех, что являются лишь toleranter verae, и которые, говорит он, с другой стороны, «служат главным образом искусству изобретения, хотя, по моему мнению, они содержат в себе нечто фиктивное и вымышленное, что может быть тем не менее легко исправлено посредством приведения к обычным выражениям, чтобы не смогла возникнуть ошибка»;5 но являются ли они даже таковыми, и не содержат ли они в себе на самом деле просто-напросто противоречия? Несомненно, Лейбниц признает, что крайний случай, или ultimus casus, является exclusivus, что явно предполагает, что он находится за пределами ряда случаев, которые естественным образом включаются в общий закон; тогда по какому праву его включают в этот же самый закон и трактуют его как ut inclusivum, то есть как если бы это был простой частный случай, включенный в этот ряд? Верно, что круг является пределом правильного многоугольника, число сторон которого увеличивается до неопределённости, но его определение, в сущности, иное, чем определение многоугольников; и мы ясно видим на таком примере, как этот, качественное различие, которое существует, как мы говорили, между самим пределом и тем, для чего он пределом является. Покой никоим образом не является частным случаем движения, а равенство – частным случаем неравенства, совпадение не является частным случаем расстояния, а параллельность – частным случаем совпадения; Лейбниц, между прочим, не допускает, что они являются такими частными случаями в строгом смысле, но он тем не менее утверждает, что в каком-то отношении они могут таковыми рассматриваться таким образом, что «род завершается в мнимой противоположной разновидности»,6 и что нечто может быть эквивалентом разновидности своего противоречия». Заметим мимоходом, что это, кажется, относится к тому же порядку идей, с которым связано понятие «виртуальности», понимаемое Лейбницем в том особом смысле, какой он ему дает, как возможность, которая была бы действием, начинающим осуществляться,7 что не менее противоречиво, чем иные примеры, которые мы только что процитировали.
С какой бы точки зрения мы все это ни рассматривали, мы совершенно не видим, как некоторая разновидность может быть «предельным случаем» противоположного вида или рода, так как противоположности взаимно ограничивают друг друга вовсе не в этом смысле, но, наоборот, в том, что они исключают друг друга, и невозможно, чтобы противоположности были сводимы друг к другу; и может ли, например, неравенство сохранять значение иначе, чем по мере того, как оно противопоставляется равенству и является его отрицанием? Мы, конечно, не можем сказать, что такие утверждения, как это, являются toleranter verae; даже когда не допускается существование абсолютно раздельных родов, тем не менее верно, что какой-либо род, определяемый в качестве такового, никогда не может стать неотъемлемой частью другой в равной мере определённого рода, определение которого не включает его собственного свойства, и если даже оно его формально и не исключает, как в случае с противоречиями, и что если связь может быть установлена между различными родами, это не может произойти там, где они действительно различны, но только посредством высшего рода, в который они оба в равной мере входят. Такая концепция непрерывности, приводящая к упразднению не только всякого разделения, но также и любого действительного различия, допуская прямой переход от одного рода к другому без сведения к высшему или более общему роду, является, собственно говоря, самим отрицанием всякого истинно логического принципа; отсюда до гегелевского утверждения о «тождестве противоречий» только один шаг, который едва ли затруднительно преодолеть.
- 1. Epistola ad V. Cl. Christianum Wolfium, Professorem Matheseos Halensem, circa Scientiam Infiniti // Acta Eruditorum. Leipzig, 1713. ↑
- 2. Уже цитированное письмо Вариньону от 2 февраля 1702 г. ↑
- 3. Specimen Dynamicum, уже цитированное выше. ↑
- 4. Обоснование исчисления бесконечно малых исчислениями обычной алгебры, примечание, приложенное к письму Вариньона Лейбницу от 23 мая 1702 г., в котором упоминается, что это письмо было отправлено Лейбницем, чтобы быть помещенным в Journal de Trévoux. – Лейбниц берет слово «постоянный» в значении «непрерывный». ↑
- 5. Epistola ad V. Cl. Christianum Wolfium, уже цитированное выше. ↑
- 6. Initia Rerum Mathematicarum Metaphysica. Лейбниц буквально по тексту говорит: genus in quasi-speciem oppositam desinit, и использование такого странного выражения quasi-speciem, кажется, указывает по меньшей мере на некоторое затруднение придать видимость правдоподобия этому выражению. ↑
- 7. Подразумевается, что слова «действие» и «возможность» взяты здесь в их аристотелевском и схоластическом смысле. ↑