Минский корпус Рене Генона

Глава XIV «Исчезающие величины»

Обоснование «перехода к пределу» состоит в итоге для Лейбница в том, что частный случай «исчезающих величин», как он говорит, должен в силу непрерывности быть в некотором смысле включен в общее правило; и, между прочим, эти исчезающие величины не могут рассматриваться как «абсолютно ничтожные» или как чистые нули, так как всегда в силу той же самой непрерывности они сохраняют между собой определённое отношение, обычно отличающееся от единицы, в то самое мгновение, когда они исчезают, что предполагает, что они ещё являются настоящими величинами, хотя и незначительными по отношению к обычным величинам.1 Тем не менее, если исчезающие величины, или, что имеет то же самое значение, величины бесконечно малые не являются «абсолютно ничтожными», даже когда речь идёт о дифференциалах порядка выше первого, они должны рассматриваться как «относительно ничтожные», то есть если они полностью сохраняют характер переменных величин, ими можно и должно пренебречь даже в отношении обычных величин, с которыми они «несравнимы»;2 но умноженные на «бесконечные» величины или на несоизмеримо большие, чем обычные величины, они воспроизводят обычные величины, чего не могло бы быть, если бы они были абсолютно ничтожными. Можно видеть благодаря тем определениям, которые мы дали ранее, что рассмотрение отношения между исчезающими величинами, оставаясь определённым, соотносится с дифференциальным исчислением, и что рассмотрение произведения тех же самых исчезающих величин на «бесконечные» величины, дающего обычные величины, соотносится с интегральным исчислением. Трудность во всем этом заключается в том, чтобы допустить, что величины, не являющиеся абсолютно нулевыми, должны тем не менее рассматриваться как нулевые в исчислениях, что рискует создать впечатление, что речь идёт лишь о простом приближении; в связи с этим Лейбниц также иногда вспоминает о «законе непрерывности», посредством которого «предельный случай» оказывается сведенным к общему правилу, как единственному постулату, которого требует его метод; но этот аргумент, впрочем, весьма неясен, и необходимо, скорее, вернуться к понятию «несравнимых», как он это чаще всего и делает, чтобы обосновать устранение бесконечно малых величин в результатах вычислений.

Лейбниц действительно рассматривает как равные не только величины, разность которых является нулевой, но ещё и величины, разность которых несравнима с самими этими величинами; и именно на этом понятии «несравнимых» основывается для него не только устранение бесконечно малых величин, которые исчезают перед обычными величинами, но также и различие различных порядков бесконечно малых величин или дифференциалов, где величины каждого из этих порядков несравнимы с величинами предыдущего, как величины первого порядка несравнимы с обычными величинами, но никогда не доходят до «абсолютно ничтожных». «Я называю несравнимыми величинами, – говорит Лейбниц, – те, одна из которых, умноженная на некоторое конечное число, каким бы оно ни было, не могла бы превысить другую, подобно тому как Евклид брал их в своем пятом определении пятой книги».3 В этом, между прочим, нет ничего, что указывает, должно ли такое определение распространяться на определённые и постоянные величины или на величины переменные; но можно допустить, что при всей своей всеобщности оно должно без различий применяться и в том и в другом случае: весь вопрос тогда бы состоял в том, чтобы знать, могут ли когда-либо две постоянные величины, какими бы различными они ни были в масштабе величин, рассматриваться как реально «несравнимые», или же они являются таковыми лишь относительно средств измерения, которыми мы располагаем. Но здесь на этом неуместно настаивать, поскольку сам Лейбниц заявлял, между прочим, что этот случай не является случаем дифференциалов,4 из чего необходимо сделать вывод не только, что сравнение с песчинкой было само по себе ошибочным, но что оно, в сущности, не соответствовало в его собственной мысли истинному понятию «несравнимых», по крайней мере в том, что это понятие должно применяться к бесконечно малым величинам.

Некоторые тем не менее считали, что исчисление бесконечно малых может стать совершенно строгим лишь при условии, что бесконечно малые величины рассматриваются как нулевые, и в то же самое время они напрасно думали, что ошибка может предполагаться нулевой, как только она предполагается насколько угодно малой; напрасно, скажем мы, так как это означает то же самое, что допустить, что переменная, как таковая, может достичь своего предела. Между прочим, вот что говорит по этому поводу Карно: «Есть люди, которые думают, что в достаточной мере устанавливают принцип анализа бесконечно малых, когда выдвигают следующий довод: очевидно, говорят они, и это весь мир признает, что ошибки, которым процедуры анализа бесконечно малых дают место, если они имеются, могут всегда предполагаться насколько угодно малыми; очевидно также, что любую ошибку мы вправе предполагать настолько малой, что можно считать её ничтожной, так как, поскольку можно предположить её насколько угодно малой, то можно предположить её и равной нулю; следовательно, результаты анализа бесконечно малых являются строгими и точными. Такой довод, на первый взгляд правдоподобный, тем не менее не является справедливым, так как неверно утверждать, что поскольку мы вправе сделать ошибку насколько угодно малой, то можно ради этого сделать её ничтожной... Мы оказываемся перед неизбежной альтернативой – или совершить ошибку, какой бы малой мы ни желали её предполагать, или натолкнуться на формулу, которая ничему не учит, и именно в этом и заключается центральный пункт трудностей в анализе бесконечно малых».5

Верно, что формула, в которую вводится отношение, предстающее в виде 0/0, «ничему не учит», и можно даже сказать, что сама она не имеет никакого смысла; только в силу конвенции, между прочим, обоснованной, можно придать смысл этой форме 0/0, рассматривая её как символ неопределённости;6 но сама эта неопределённость служит причиной, что отношение, взятое в таком виде, может быть равным чему угодно, тогда как оно должно, наоборот, в каждом частном случае, сохранять определённое значение: на существование такого определённого значения и ссылается Лейбниц,7 и сам по себе этот аргумент совершенно неотразим.8 Однако, необходимо признать, что понятие «исчезающих величин» имеет, согласно выражению Лагранжа, «большое неудобство в том, что рассматривает величины в состоянии, в котором они, образно выражаясь, перестают быть величинами»; но вопреки тому, что думал Лейбниц, нет нужды рассматривать их именно в то мгновение, когда они исчезают, ни даже допускать, что они могут действительно исчезнуть, так как в этом случае они действительно перестают быть величинами. Это, по сути дела, предполагает, что нет «бесконечно малого» в строгом смысле слова, так как это «бесконечно малое», или по крайней мере то, что так называют, принимая язык Лейбница, может быть лишь нулем так же, как «бесконечно большое», понимаемое в том же самом смысле, могло быть лишь «бесконечным числом»; но на самом деле нуль – это не число, и нет никакой «нулевой величины, как и «бесконечной величины». Математический нуль в его прямом и строгом значении есть лишь отрицание, по крайней мере в количественном отношении, и нельзя сказать, что отсутствие величины образует ещё одну величину; это пункт, к которому мы намерены вскоре вернуться, чтобы более полно изложить различные следствия, которые из него вытекают.

В конечном счете выражение «исчезающие величины» ошибочно главным образом в том, что дает повод для двусмысленности и вынуждает считать, что бесконечно малые величины рассматриваются как величины, которые на самом деле аннулируются, так как, если только не менять смысл слова, трудно понять, что «исчезать», когда речь идёт о величинах, могло бы означать нечто иное, чем аннулироваться. В действительности эти бесконечно малые величины, понимаемые как до неопределённости уменьшающиеся величины, что и является их истинным значением, никогда не могут быть названы «исчезающими» в собственном смысле этого слова, и было бы, разумеется, предпочтительнее никогда не вводить такое понятие, которое, в сущности, опирается на созданную Лейбницем концепцию непрерывности и которое, как таковое, неизбежно включает в себя элемент противоречия, свойственного нелогичности самой этой концепции. Теперь, если какая-то ошибка, способная сделаться насколько угодно малой, никогда не сможет стать абсолютно нулевой, то как исчисление бесконечно малых сможет стать действительно строгим, и, если возникает ошибка, которой можно пренебречь лишь практически, то не следует ли из этого сделать вывод, что вычисление сводится к простому методу приближения, или по меньшей мере, как говорил Карно, методу «компенсации»? Этот вопрос нам ещё предстоит впоследствии решить; но поскольку нам пришлось говорить здесь о нуле и о мнимой «нулевой величине», то лучше вначале обсудить другую тему, значение которой, как мы увидим, вовсе не является незначительным.

  1. 1. Для Лейбница 0/0 = 1, потому что, говорит он, «ничто означает другое»; но, поскольку имеем 0 × п = 0, и это так, каким бы ни было число n, то очевидно, что можно также записать 0/0 = п, и именно поэтому это выражение 0/0 обычно рассматривается как изображающее то, что называют «неопределённой формой».⁠ ↑
  2. 2. Различие между этим и сравнением с песчинкой заключается в том, что как только речь идёт об «исчезающих величинах», это неизбежно предполагает, что речь идёт о переменных величинах, а не о величинах постоянных и определённых, какими бы малыми они не предполагались.⁠ ↑
  3. 3. Письмо маркизу Лопиталю от 14-24 июня 1695 г.⁠ ↑
  4. 4. Уже цитированное письмо Вариньону от 2 февраля 1702 г.⁠ ↑
  5. 5. Размышления о метафизике исчисления бесконечно малых, стр. 36.⁠ ↑
  6. 6. См. предыдущее замечание по этому поводу.⁠ ↑
  7. 7. С тем различием, что для него отношение 0/0 является не неопределённым, но всегда равным 1, как мы об этом выше говорили, тогда как значение, о котором идёт речь, отличается в каждом случае.⁠ ↑
  8. 8. См.: Фрейсине Ш. де. «Об анализе бесконечно малых», стр. 45-46: «Если возрастание сводится к состоянию чистого нуля, то оно не имеет никакого значения. Его свойство состоит в том, что оно является не строго нулевым, но до неопределённости уменьшающимся, не могущим никогда смешаться с нулем в силу того общего принципа, что переменная никогда не сможет совпасть со своим пределом».⁠ ↑
НазадДалее

Поиск

Если вы хотите стать патроном, чтобы
перевод этого текста появился в корпусе раньше —
свяжитесь с редактором по почте
или через Telegram.

Предложить правку