Глава XV Нуль – это не число
Уменьшение чисел до неопределённости не может больше доходить до «нулевого числа», как и их возрастание до неопределённости не может доходить до «бесконечного числа», и не может по той же причине, поскольку одно из этих чисел должно быть обратным другому; действительно, согласно тому, что мы ранее говорили по поводу обратных чисел, которые были в равной мере удалены от единицы в двух последовательностях, одной возрастающей, а другой уменьшающейся, имеющих эту единицу в качестве общей точки отсчета, и поскольку в одной из этих последовательностей столько же членов, сколько и в другой, то последние члены, которыми могли бы быть «бесконечное число» и «число нуль», должны были бы сами, если бы они существовали, быть в равной мере удаленными от единицы, то есть обратными друг другу.1 При таких условиях, если знак ∞ является в реальности лишь символом до неопределённости возрастающих величин, то знак 0 должен логически быть принят так же, как символ до неопределённости уменьшающихся величин, чтобы выразить в обозначении симметрию, которая, как мы уже говорили, существует между теми и другими; но, к несчастью, этот знак 0 уже имеет совершенно иное значение, так как он изначально служит обозначению отсутствия всякой величины, тогда как знак ∞ не имеет никакого реального смысла, который такому иному значению соответствует. Здесь новый источник путаницы наподобие той, что возникает по поводу «исчезающих величин», и следовало бы, чтобы её избежать, создать для неопределённо уменьшающихся величин иной символ, отличный от нуля, поскольку эти величины обладают тем признаком, что никогда не могут аннулироваться в своем изменении; в любом случае при обозначении, на самом деле используемом математиками, кажется почти невозможным, чтобы такого рода путаница не возникла.
Если мы настаиваем на том замечании, что нуль, поскольку он изображает отсутствие всякой величины, не является числом и не может рассматриваться как таковое, хотя это и могло казаться довольно очевидным тем, кто никогда не имел случая познакомиться с некоторыми дискуссиями, то дело в том, что как только мы допускаем существование «нулевого числа», которое должно быть «наименьшим из чисел», мы неизбежно вынуждены предположить в качестве обратного ему числа «бесконечное число» в смысле «наибольшего из чисел». Если, следовательно, принять тот постулат, что нуль – это число, аргументация в пользу «бесконечного числа» может быть затем вполне логичной;2 но именно этот постулат мы и должны отвергнуть, так как, если следствия, которые из него вытекают, являются противоречивыми, а мы видели, что существование «бесконечного числа» таковым на самом деле и является, то и сам он уже подразумевает противоречие. На самом деле, отрицание величины ни в коей мере не может быть подобно какой-то величине; отрицание числа или величины не может ни в каком смысле и в никакой степени образовать разновидность числа или величины; утверждать противоположное – значит утверждать, что нечто может быть, согласно выражению Лейбница, «эквивалентом разновидности своей противоположности», и стоило бы сразу же сказать, что отрицание логики – это тоже логика.
Поэтому противоречиво говорить о нуле как о числе, или предполагать «нуль величины», который ещё был бы величиной, из чего неизбежно следовало бы рассмотрение такого же количества нулей, сколько имеется разновидностей различных величин; в реальности может быть лишь чистый нуль, который есть не что иное, как отрицание величины, в каком бы виде оно ни рассматривалось.3 Ввиду того, что таким и является истинный смысл арифметического нуля, взятого в строгом смысле, очевидно, что этот смысл не имеет ничего общего с понятием неопределённо уменьшающихся величин, которые всегда являются величинами, а не отсутствием величины, и тем более не чем-то таким, что было бы в некотором роде промежуточным между нулем и величиной, что означало бы ещё одну совершенно непонятную концепцию, которая на своем уровне весьма близко напоминала бы концепцию лейбницевской «виртуальности», о которой мы ранее уже сказали несколько слов.
Мы можем теперь вернуться к другому значению, которое сообщают нулю при обычном обозначении, чтобы увидеть, как могла появиться путаница, о которой мы говорили: мы ранее утверждали, что число может рассматриваться в некотором роде как практически неопределённое, поскольку мы больше не имеем возможности выразить его или отчетливо изобразить каким-либо способом; такое число, каким бы оно ни было, можно будет в возрастающем порядке символизировать знаком ∞, поскольку он изображает неопределённо большое; речь, следовательно, не идёт здесь об определённом числе, но о целой области, что, между прочим, необходимо для того, чтобы было можно рассматривать в неопределённом неравенства и даже различные порядки величины.
В математическом обозначении недостает и другого символа – для обозначения области, соответствующей этой первой области в уменьшающемся порядке, то есть того, что можно назвать область неопределённо малого; но поскольку число, принадлежащее этой области, фактически является незначительным при вычислениях, то его привыкли рассматривать как практически нулевое, хотя здесь перед нами лишь простое приближение, вытекающее из неизбежного несовершенства наших средств выражения и измерения, и несомненно именно по этой причине его приходится символизировать тем же самым знаком 0, который изображает с иной стороны строгое отсутствие всякой величины. Только в этом смысле этот знак 0 становится в каком-то роде симметричным знаку ∞, и они могут размещаться взаимно на двух крайних точках ряда чисел, того, который мы ранее рассматривали как расширяющийся до неопределённости посредством целых чисел и посредством чисел, им обратных, в двух направлениях, возрастающем и уменьшающемся. Этот ряд изображается тогда в следующем виде: 0… … 1/4, 1/3, 1/2, 1, 2, 3, 4… … ∞; но необходимо предостеречь, что 0 и ∞ изображают не два определённых числа, которые завершали бы ряд в двух направлениях, но две неопределённые области, в которых, наоборот, не могло бы быть последних членов по причине самой их неопределённости; впрочем, очевидно, что нуль не мог бы быть здесь ни «нулевым числом», которое было бы последним членом в уменьшающемся направлении, ни отрицанием или отсутствием всякой величины, которое не может иметь никакого места в этом ряду величин.
В том же самом ряду, как мы ранее объясняли, два числа, равноудаленных от центральной единицы, являются обратными друг другу или друг друга взаимодополняющими, поэтому воспроизводящими единицу посредством их умножения: 1/n × n = 1, так что и для двух крайних точек ряда нам пришлось бы также записать 0 × ∞ = 1; но в силу того, что знаки 0 и ∞, являющиеся двумя множителями этого последнего произведения, не представляют собой определённых чисел, из этого следует, что само выражение 0 × ∞ образует символ неопределённости или того, что называют «неопределённой формой», и тогда следует записать 0 × ∞ = = п, где п является любым числом;4 тем не менее верно, что в любом случае мы приходим к обычному конечному, и две противоположные неопределённости нейтрализуют друг друга. Здесь мы весьма ясно видим ещё раз, что символ × ∞ ни в коем случае не изображает бесконечность, так как бесконечность в своем истинном смысле, не может иметь ничего противоположного и ничего взаимодополнительного, и она не может войти в соотношение с чем бы то ни было, тем более с нулем, в каком бы смысле его ни понимали, или с единицей, или с каким-либо числом, или с частной вещью какого-либо рода, количественного или нет; будучи универсальным и абсолютным Целым, она содержит в себе как бытие, так и не-бытие, и поэтому сам ноль, поскольку он не рассматривается как чистое ничто, должен неизбежно рассматриваться так же как включенный в бесконечность.
Делая здесь ссылку на не-бытие, мы прикасаемся к другому значению нуля, совершенно отличному от тех, что мы только что рассматривали, и которое, между прочим, является более важным с точки зрения его метафизического символизма; но в связи с этим необходимо, чтобы избежать любой путаницы между символом и тем, что он изображает, уточнить, что метафизический нуль, который и есть не-бытие, не является более нулем величины, как и метафизическая единица, которая и есть бытие, не является единицей арифметической; то, что обозначается этими терминами, может быть лишь преобразованием по аналогии, поскольку, как только мы располагаемся в универсальном, то мы оказываемся, очевидно, за пределами любой специальной области, такой, как область количества. Впрочем, не в той мере, в какой он изображает неопределённо малое, нуль может благодаря такому переносу быть принят за символ не-бытия, но в той мере, в какой, согласно его более строгому математическому значению, он изображает отсутствие величины, которое на самом деле символизирует на своем уровне возможность непроявления, так же как единица символизирует возможность проявления, будучи точкой отсчета неопределённого множества чисел, подобно тому как единица является принципом всякого проявления.5
Это вынуждает нас также заметить, что каким бы образом ни рассматривать нуль, он ни в коем случае не может быть принят за чистое ничто, которое метафизически соответствует лишь невозможности, и которое, между прочим, логически ничем не может быть изображено. Это слишком очевидно, когда речь идёт о неопределённо малом; верно, что здесь перед нами, если угодно, лишь производный смысл, порожденный, как мы только что говорили, чем-то вроде приблизительного уподобления незначительной для нас величины отсутствию всякой величины; но в том, что касается самого отсутствия величины, то, что является ничтожным в этом отношении, может не быть таковым в других отношениях, как это ясно видно на таком примере, как пример с точкой, которая, будучи неделимой, является тем самым и непротяженной, то есть пространственно нулевой,6 но которая тем не менее, как мы уже объясняли, представляет собой сам принцип всякой протяженности.7 Впрочем, действительно странно, что математики вообще имеют привычку рассматривать нуль как чистое ничто, и что тем не менее для них невозможно в то же самое время не рассматривать нуль, как, наделяющий неопределённой степенью, поскольку размещенный справа от другой цифры, называемой «значительной», он способствует формированию представления о числе, которая благодаря повторению этого самого нуля может возрастать до неопределённости, как это происходит, например, в случае числа десять и его последовательных степеней. Если бы действительно нуль был чистым ничто, он не мог бы иметь такие свойства, и даже, правду сказать, он был бы тогда лишь бесполезным знаком, полностью лишённым всякого действительного значения; следовательно, здесь перед нами в современных математических концепциях ещё одна непоследовательность, которую следует добавить ко всем тем, на которые мы уже имели здесь случай указать.
- 1. Это могло бы изображаться, согласно обычному обозначению, формулой 0 × ∞ = 1; но фактически форма 0 × ∞, так же как и 0/0, есть «неопределённая форма», и можно записать 0 × ∞ = п, обозначая под п некоторое число, что, между прочим, уже доказывает, что в реальности 0 и ∞ не могут рассматриваться как изображающие определённые числа; мы, впрочем, ещё вернемся к этому. Следует отметить, с другой стороны, что 0 × ∞ соответствует в отношении к «пределам сумм» интегрального исчисления тому, чем является 0/0 в отношении «пределов соотношений» дифференциального исчисления. ↑
- 2. Фактически именно на этом постулате основывается по большей части аргументация Л. Кутюра в его диссертации «О математической бесконечности». ↑
- 3. Отсюда также следует, что нуль не может рассматриваться как предел в математическом смысле этого слова, так как настоящий предел всегда, по определению, является величиной; впрочем, очевидно, что величина, уменьшающаяся до неопределённости, не имеет более предела, как и величина, которая до неопределённости возрастает, или что по крайней мере и та и другая не могут иметь иных пределов, кроме тех, что неизбежно следуют из самой природы количества как такового, что представляет собой совершенно иное значение того же самого слова «предел», хотя между этими двумя смыслами имеется определённая связь, на которую мы далее ещё укажем; математически можно говорить лишь о пределе соотношения двух до неопределённости возрастающих величин или двух величин, до неопределённости уменьшающихся, а не о пределе этих самих величин. ↑
- 4. См.: предыдущее замечание по этому поводу. ↑
- 5. По этому поводу см.: «Множественные состояния существа», глава III. ↑
- 6. Поэтому, как мы выше сказали, точка не может никоим образом рассматриваться как образующая какой-то элемент или часть протяженности. ↑
- 7. «Символизм креста». Глава XVI. ↑