Глава XVI Обозначение отрицательных чисел
Если мы на секунду вернемся к двум математическим значениям нуля, то есть нуля, рассматриваемого как изображение неопределённо малого, то, на чем важно прежде всего остановиться, так это на том, что область неопределённо малого включает в себя в двойной неопределённой последовательности чисел всё то, что в определённом смысле находится за пределами средств нашей оценки, так же как область неопределённого большого включает в себя в той же самой последовательности всё то, что находится за пределами средств нашей оценки в ином направлении. При таком положении дел, очевидно, уместно говорить о «числах, меньших, чем нуль», а также о числах, «больших, чем неопределённость»; и это ещё более неприемлемо, если это возможно, когда нуль в своем другом значении просто изображает отсутствие всякой величины, так как величина, которая была бы меньше, чем ничто, собственно говоря, немыслима. Тем не менее именно это в определённом смысле и желают сделать, вводя в математику рассмотрение так называемых отрицательных чисел и забывая при помощи современного «конвенционализма», что эти числа с самого начала не являются чем-то большим, чем обозначением результата вычитания, реально невозможного, посредством которого большее число должно было быть вычтено из меньшего числа; мы уже отметили, между прочим, что все обобщения или расширения идеи числа фактически происходят лишь при рассмотрении операций, невозможных с точки зрения чистой арифметики; но такая концепция отрицательных чисел и следствия, которые она за собою влечет, требует некоторых других пояснений.
Мы ранее говорили, что последовательность целых чисел формируется исходя из единицы, а не исходя из нуля; действительно, когда установлена единица, то вся последовательность чисел выводится из неё таким образом, что можно сказать, что она уже подразумевается и содержится в принципе в этой изначальной единице,1 в то время как из нуля, очевидно, нельзя вывести никакое число. Переход от нуля к единице не может происходить тем же способом, что и переход от единицы к другим числам, или от какого-либо числа к следующему числу, и, в сущности, предполагать возможным переход от нуля к единице – значит уже имплицитно эту единицу устанавливать.2 Наконец, устанавливать нуль в начале последовательности чисел, как если бы он был первым в этой последовательности, допустимо лишь в двух значениях: либо действительно допуская, что нуль – это число вопреки тому, что мы установили, и, как следствие, что он может иметь с другими числами отношения того же порядка, что и отношения этих чисел между собой, что не так, поскольку нуль, умноженный или разделенный на какое-либо число, всегда дает нуль; либо это простой прием обозначения, который может повлечь за собой безвыходную путаницу. Фактически использование такого приема оправдано лишь тем, что позволяет ввести обозначение отрицательных чисел, и если использование такого обозначения открывает, несомненно, некоторые преимущества для удобства вычислений, то полностью «прагматический» подход, который здесь не затрагивается и который даже лишен подлинного значения с нашей точки зрения, представляет собой, с другой стороны, как легко в этом убедиться, немало серьёзных логических неудобств. Первое из всех затруднений, которым он дает в этой связи место, – это и есть концепция отрицательных величин как «меньших, чем нуль», которую Лейбниц ставил рядом с утверждениями, являющимися лишь toleranter verae, но которая в реальности, как мы только что сказали, полностью лишена всякого значения. «Выдвигать утверждение, что отдельная отрицательная величина меньше, чем нуль, – говорил Карно, – значит обволакивать науку математики, которая должна быть наукой очевидного, непроницаемым туманом и входить в лабиринт все более и более странных парадоксов».3 Вслед за этим мы можем обратиться к суждению, которое не вызывает подозрений и не содержит в себе никаких преувеличений; впрочем, никогда не следует забывать при использовании такого обозначения отрицательных чисел, что речь не идёт о чем-то большем, чем простая конвенция.
Причина такой конвенции в следующем: когда вычитание арифметически невозможно, его результат тем не менее доступен интерпретации в случае, когда это вычитание соотносится с величинами, которые могут учитываться в двух противоположных направлениях, как например расстояния, измеряемые на линии, или углы вращения вокруг неподвижной точки, или ещё время, считающееся движущимся исходя из определённого мгновения к будущему или к прошлому. Отсюда геометрическое изображение, которое обычно сообщают этим отрицательным числам: рассчитываются на прямой как положительные, так и отрицательные расстояния, в зависимости от чего они проходят в том или ином направлении, и устанавливается на этой прямой точка, взятая как начало, отталкиваясь от которой, расстояния, называемые положительными, располагаются с одной стороны, а отрицательные – с другой. Каждой точке прямой будет соответствовать число, которое будет мерой своего расстояния до начала, и мы можем, чтобы упростить язык, назвать его коэффициентом; само начало в этом же случае будет, естественно, иметь коэффициент ноль, а коэффициент любой другой точки будет числом, наделенным знаком (+) или (-), знаком, который в реальности будет просто указывать, с какой стороны эта точка располагается по отношению к началу. На окружности можно даже различить положительное или отрицательное направление вращения, и отсчитывать исходя из изначальной позиции радиуса как положительные, так и отрицательные углы, в зависимости от того, будут ли они вписываться в то или иное из этих двух направлений, что дает повод для аналогичных замечаний. Если продолжать рассматривать прямую, то две точки, равноудаленные от начала, с одной и с другой от него стороны будут иметь коэффициентом одно и то же число, но с противоположными знаками, а точка, более удаленная от начала, чем другая, будет, естественно, иметь коэффициентом большее число; тем самым очевидно, что если число пбольше, чем другое число т, то будет абсурдным утверждать, как это обычно делается, что -п больше, чем -т, поскольку оно, наоборот, изображает большую дистанцию. Между прочим, знак, размещаемый таким образом перед числом, не может никоим образом изменить его с точки зрения величины, поскольку он не изображает ничего, что относится к измерению самих дистанций, но только направление, в котором эти дистанции просматриваются, направление, являющееся, собственно говоря, элементом качественного, а не количественного порядка.4
С другой стороны, прямую, являющуюся неопределённой в двух направлениях, приходится рассматривать как неопределённо положительную и неопределённо отрицательную, что изображается знаками +∞ и -∞, и что обычно обозначается абсурдными выражениями «плюс бесконечность» и «минус бесконечность»; спрашивается, чем могла бы быть отрицательная бесконечность, или ещё – что могло бы существовать, если бы от чего-то или от ничто (поскольку математики рассматривают ноль как ничто) отняли бесконечность; здесь перед нами те вещи, которые достаточно выразить ясным языком, чтобы сразу же увидеть, что они лишены всякого значения. Необходимо также добавить, что впоследствии приходится, в частности при изучении изменения функций, рассматривать отрицательную неопределённость как смешивающуюся с положительной неопределённостью таким образом, что движущееся тело, начинающее двигаться с исходной точки и постоянно удаляющееся в положительном направлении, возвращалось бы к ней с отрицательной стороны, если бы его движение продолжалось неопределённое время, или наоборот, из чего следует, что прямая, или то, что в качестве таковой рассматривается, должна быть в реальности замкнутой линией, хотя и неопределённой. Можно было бы, между прочим, показать, что свойства прямой на плоскости полностью аналогичны свойствам большого круга на поверхности сферы, и что плоскость и прямая могут быть уподоблены сфере и большому кругу с неопределённо большим радиусом (обычные круги на плоскости тогда являются малыми кругами этой же самой сферы); такое уподобление, чтобы стать строгим, предполагает, между прочим, «переход к пределу», так как очевидно, что, каким бы большим ни становился радиус в своем неопределённом возрастании, мы всегда имеем сферу, а не плоскость, и что такая сфера только стремится к тому, чтобы слиться с плоскостью, а её большие круги – с прямой, таким образом, что плоскость и прямая являются здесь пределами подобно тому, как круг представляет собой предел правильного многоугольника, число сторон которого возрастает до неопределённости. Не настаивая более на этом, мы только заметим, что здесь прямо проявляются сами пределы пространственной неопределённости; следовательно, как же можно, если желают сохранить некоторую видимость логики, говорить при всем этом о бесконечности?
Если рассматривать положительные и отрицательные числа так, как мы это только что делали, то ряд чисел приобретает следующую форму: -∞ ... -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4 ... +∞, порядок этих чисел будет тот же самый, что и порядок соответствующих точек на прямой, то есть точек, которые имеют те же самые числа в качестве соответствующих коэффициентов, чем, между прочим, и отличается реальное происхождение таким образом сформированного ряда. Этот ряд, хотя он также является неопределённым в двух направлениях, совершенно отличается от того, что мы рассматривали ранее и который включал в себя целые числа и числа, им обратные: он симметричен, но уже не по отношению к 1, а по отношению к 0, который соответствует началу расстояний; и два числа, равноудаленных от этого центрального члена 0, также его воспроизводят, но не посредством умножения, как это было в случае обратных чисел, а посредством «алгебраического» сложения (то есть осуществляемого при учитывании их знаков, что арифметически является здесь вычитанием). С другой стороны, этот новый ряд ни в коей мере не является, как предыдущий, неопределённо возрастающим в одном направлении и неопределённо уменьшающимся в другом, или по крайней мере, если намерены рассматривать его таким образом, то это лишь один из наиболее некорректных способов выражения, который и является тем самым способом, каким рассматриваются числа, «меньшие, чем ноль»; на самом деле он является неопределённо возрастающим в равной мере в двух направлениях, поскольку то, что он включает в себя с одной и с другой стороны от центрального нуля, и есть та же самая последовательность целых чисел; то, что называют «абсолютным значением» (ещё одно по меньшей мере странное выражение, так как то, о чем идёт речь, всегда, по сути дела, является лишь относительным порядком), должно одно лишь приниматься во внимание в чисто количественном отношении, и положительные или отрицательные знаки ничего в этой связи не меняют, так как они не выражают ничего иного, кроме отношений «положения», которые мы только что объясняли. Неопределенно отрицательное, следовательно, нисколько не уподобляется неопределённо малому; наоборот, оно так же, как неопределённо положительное, уподобляется неопределённо большому; единственное различие в том, что оно разворачивается в другом направлении, что совершенно допустимо, когда речь идёт о пространственных или временных величинах, но полностью лишено смысла для арифметических величин, для которых такое развертывание неизбежно является единственно возможным и не может быть иным, чем развертывание самой последовательности целых чисел.
Среди других странных или нелогичных следствий обозначения отрицательных чисел мы отметим введенное решением алгебраических уравнений рассмотрение так называемых «воображаемых» величин, которые Лейбниц, как мы видели, располагает на тех же основаниях, что и бесконечно малые величины, рядом с тем, что он называет «обоснованными фикциями»; эти величины, или называемые таковыми, изображаются как корни отрицательных чисел, что в реальности соответствует лишь чистой невозможности, поскольку будет число положительным или отрицательным, его квадрат всегда неизбежно является положительным в силу правил алгебраического умножения. Даже если можно было бы, придав этим «воображаемым» величинам иной смысл, суметь привести их к соответствию чему-то реальному, что мы здесь не рассматриваем, в любом случае можно быть уверенным, что их теория и их применение в аналитической геометрии в том виде, в каком они излагаются современными математиками, является на самом деле лишь переплетением путаницы и нелепостей, а также чем-то вроде продукта потребности в чрезмерных и искусственных обобщениях, потребности, которая не отступает даже перед высказыванием очевидно нелепых предположений; нескольких теорем «асимптот круга», например, было бы достаточно, чтобы доказать, что мы нисколько не преувеличиваем. Можно, правда, сказать, что здесь перед нами не геометрия, собственно говоря, но только, как и при рассмотрении «четвертого измерения» пространства,5 алгебра, переведенная на геометрический язык; но серьёзно как раз то, почему такой перевод, так же как и перевод в обратном направлении, в некоторой мере возможен и распространен в тех случаях, когда он уже не может иметь никакого значения, так как это одновременно и симптом чрезмерного смешения идей и крайнее выражение «конвенционализма», который в конце концов утрачивает чувство любой реальности.
- 1. Точно так же в силу аналогии все неопределённое множество возможностей проявления содержится в принципе и «в высшей степени» в чистом бытии или в метафизической Единице. ↑
- 2. Это оказывается совершенно очевидным, если в соответствии с общим законом формирования последовательности чисел изобразить такой переход формулой 0 + 1 = 1. ↑
- 3. «Замечание об отрицательных числах», размещенное в конце Размышлений о метафизике исчисления бесконечно малых. ↑
- 4. См.: «Царство количества и знамения времени», глава IV. – Можно было бы поставить вопрос, нет ли чего-то вроде бессознательного воспоминания об этом качественном характере в том факте, что математики иногда обозначают числа, взятые «со своим знаком», то есть рассматриваемые как положительные или отрицательные под названием «квалифицированные числа», хотя, кажется, они не придают никакого ясного смысла этому выражению. ↑
- 5. См.: «Царство количества и знамения времени», главы XVIII и XXIII. ↑