Глава VI «Обоснованные фикции»
Мысль, которую постоянно выражает Лейбниц, хотя и не утверждает её всегда с одной и той же силой, и которую иногда даже, но в исключительных случаях, он, кажется, категорически не желает произносить, заключается в том, что бесконечные и бесконечно малые величины представляют собой всего лишь фикции; но, добавляет он, это «обоснованные фикции», и под этим он не просто понимает то, что они используются для расчета1 или даже для того, чтобы «найти реальные истины», хотя ему в равной мере приходится настаивать и на такой полезности; но он постоянно повторяет, что эти фикции «обоснованы в реальности», что они имеют fundamentum in re, что, очевидно, подразумевает нечто большее, чем чисто утилитарную ценность; и в конечном счете сама такая ценность должна у него объясняться тем основанием, которое эти фикции имеют в реальности. В любом случае он считает, что достаточно, чтобы метод был точным, рассматривать не бесконечные и бесконечно малые величины в строгом смысле этих выражений, поскольку этот строгий смысл не соответствует реальности, но величины насколько угодно большие и насколько угодно малые, или что необходимо, чтобы ошибка была меньшей, чем любая данная величина; необходимо было бы ещё изучить, верно ли, что, как он заявляет, такая ошибка тем самым оказывается ничтожной, то есть дает ли ему такой способ рассматривать исчисление бесконечно малых совершенно строгое обоснование, но нам придется к этому вопросу вернуться позже. Каким бы ни был этот последний пункт, выражения, где фигурируют бесконечные и бесконечно малые величины, выделяются у него в категорию утверждений, которые, говорит он, являются лишь toleranter verae, или теми, которые можно было бы назвать «терпимыми» и которые нуждаются в том, чтобы быть «исправленными» в объяснении, которое им дается, подобно тому как рассматривают отрицательные величины как «меньшие, чем ноль», и во множестве иных случаев, где язык геометра подразумевает «определенный способ образного и тайного выражения»;2 слово «тайное» было, кажется, намеком на глубокий символический смысл геометрии, но Лейбниц имеет в виду нечто совершенно иное, и возможно здесь перед нами, как это часто у него случается, воспоминание о неких эзотерических данных, в той или иной мере плохо понятых.
Что касается смысла, в каком следует понимать, что бесконечно малые величины являются «обоснованными фикциями», Лейбниц заявляет, что «бесконечное и бесконечно малое настолько обосновано, насколько это делается в геометрии, и даже в природе, как если бы они были полностью реальными»;3 для него на самом деле все, что существует в природе, некоторым образом подразумевает рассмотрение бесконечного или по крайней мере того, что он считает, что может назвать таковым: «совершенство анализа трансцендентных или геометрии, куда он вводит рассмотрение некоторой бесконечности, было бы несомненно более важным в силу применения, которое можно совершить к действиям природы, вводящей бесконечность во все, что она делает»;4 но возможно это так, потому что мы не можем иметь о ней адекватного представления и потому что в ней всегда имеются элементы, которые мы не воспринимаем все отчетливо. Если это так, то не следовало бы слишком буквально принимать такие утверждения, как например это: «Наш метод, бывший, собственно говоря, частью общей математики, рассматривающей бесконечное, – это то, в чем нуждаются, применяя математику к физике, потому что признак бесконечного Творца обычно входит в действия природы».5 Но если даже Лейбниц понимает под этим лишь то, что сложность природных вещей несоизмеримо превосходит границы нашего реального восприятия, то бесконечные и бесконечно малые величины должны иметь свой fundamentum in re; и это основание, которое обнаруживается в природе вещей, по крайней мере тем способом, каким он его понимает, есть не что иное, как то, что он называет «законом непрерывности», который нам ещё предстоит далее изучить, и который он рассматривает, ошибочно или правомерно, как в конечном счете частный случай некоторого «закона справедливости», который сам связан с рассмотрением порядка и гармонии и который всякий раз находит своё применение, когда должна соблюдаться некоторая симметрия, как это происходит, например, при сочетаниях и перестановках.
Теперь, если бесконечные и бесконечно малые величины являются лишь фикциями, и даже допуская, что они реально «обоснованы», можно спросить следующее: зачем использовать такие выражения, которые, даже если они и могут рассматриваться как toleranter verae, тем не менее неправильны? Здесь есть нечто, что уже, можно сказать, предсказывает «конвенционализм» сегодняшней науки, хотя и с тем существенным различием, что последняя более нисколько не заботится о том, чтобы узнать, являются ли фикции, к которым она обращается, обоснованными или нет, или, согласно другому выражению Лейбница, могут ли они интерпретироваться sano sensu, и даже имеют ли они какое-то значение? Поскольку можно обойтись без этих фиктивных величин и довольствоваться рассмотрением вместо них тех величин, которые просто можно сделать сколь угодно большими или сколь угодно малыми и которые по этой причине могут быть названы неопределённо большими или неопределённо малыми, было бы, несомненно, лучше начать с этого и таким образом избежать введения фикций, которые, каким бы ни могло быть их fundamentum in re, не имеют в конечном счете никакого действительного использования не только при расчетах, но также и для самого метода бесконечно малых. Выражения «неопределённо большие» и «неопределённо малые», или, что то же самое, но может быть ещё точнее, «неопределённо возрастающие» или «неопределённо уменьшающиеся», обладают не только тем преимуществом, что они – единственные, являющиеся строго точными; они ещё и ясно показывают, что величины, к которым они применимы, могут быть лишь переменными и неопределёнными величинами. Как об этом справедливо сказал один математик, «бесконечно малые – это не очень маленькие величины, имеющие актуальную ценность, доступные для определения; их признак – быть в высшей степени переменными и быть в состоянии принять меньшее значение, чем все те, которые можно уточнить; было бы гораздо лучше назвать их неопределённо малыми».6
Использование этих терминов помогло бы избежать множества затруднений и множества дискуссий, и в этом нет ничего удивительного, так как проблема не просто в словах, но в замене ложной идеи идеей истинной, в замене фикции реальностью; оно не позволило бы, в частности, принимать бесконечно малые величины за величины неизменные и определённые, так как слово «неопределённое» само по себе всегда предполагает идею «становления», как мы уже говорили выше, и, как следствие, изменение, или, когда речь идёт о величинах, о переменных величинах; и если бы Лейбниц обычно им пользовался, он, несомненно, не позволил бы себе так легко увлечься сравнением с песчинкой. Более того, свести inf inite parva ad indefinite parvaбыло бы в любом случае более ясным, чем свести их к ad incomparabiliter parva; уточнение здесь только выиграло бы, точность не была бы утрачена, скорее наоборот. Бесконечно малые величины, разумеется, «несравнимы» с обычными величинами, но это можно понимать ещё и по-другому, и это действительно часто понимают в ином смысле, чем в том, в каком следовало бы; лучше сказать, что они не «подлежат точному определению», согласно другому выражению Лейбница, так как под этим термином, кажется, действительно можно было бы понимать лишь те величины, которые способны становиться насколько угодно малыми, то есть меньшими, чем любая данная величина, и которые, как следствие», нельзя «наделить» никаким определённым значением, каким бы малым оно ни было, и именно в этом и заключается на самом деле смысл indefinite parva. К несчастью, почти невозможно узнать, являлись ли в мышлении Лейбница выражения «несравнимое» и «не подлежащее точному определению» синонимами; но в любом случае по крайней мере верно, что собственно «не подлежащая точному определению» величина в силу возможности неопределённого возрастания, которое она предполагает, является тем самым и «несравнимой» с любой другой данной величиной и даже, если распространить эту идею на различные уровни бесконечно малых с любой величиной, по отношению к которой оно может до неопределённости возрастать, и в то же время та же самая величина рассматривается как обладающая по меньшей мере относительной неизменностью.
Если и есть пункт, с которым все могут в конечном счете легко согласиться, даже не углубляясь в принципиальные вопросы, так это то, что понятия неопределённо малого, по крайней мере с математической точки зрения, совершенно достаточно для анализа бесконечно малых, и даже сами «инфинитисты» без труда это признают.7 В этом отношении можно придерживаться такого определения, как у Карно: «Что такое величина, называемая бесконечно малой в математике? Не что иное, как величина, которую можно сделать насколько угодно малой, и для этого мы не обязаны изменять те величины, соотношение которых мы ищем».8 Но что касается истинного значения бесконечно малых величин, вся проблема этим не ограничивается: для расчетов не имеет значения, что бесконечно малые являются лишь фикциями, поскольку можно удовлетвориться рассмотрением бесконечно малых, которые не вызывают никаких логических трудностей; и между прочим, ввиду того, что в силу метафизических доводов, которые мы изложили в начале, мы не можем допустить количественную бесконечность как бесконечность больших величин, так и бесконечность величин малых,9 а также бесконечность какого-либо относительного и определённого порядка, мы можем быть уверены, что они могут быть на самом деле только фикциями и ничем иным; но если эти фикции были введены ошибочно или верно, с самого начала исчисления бесконечно малых, то по замыслу Лейбница они должны были чему-то по меньшей мере соответствовать, каким бы искаженным ни был способ, каким они это выражали. Поскольку здесь мы занимаемся принципами, а не процедурой расчета, сведенного в каком-то отношении к себе самому, что было бы нам неинтересно, мы должны, следовательно, задать вопрос, каково в точности значение этих фикций не только с логической точки зрения, но ещё и с точки зрения онтологической, если они настолько «обоснованы», как полагает Лейбниц, и если даже мы можем вместе с ним сказать, что они являются toleranter verae, и принять их в качестве таковых, modo sano sensu intelligantur, чтобы ответить на эти вопросы, нам придется тщательно изучить его концепцию «закона непрерывности», поскольку именно в нем он считает, что обнаруживает fundamentum in re бесконечно малых.
- 1. В таком рассмотрении практической полезности Карно считал, что нашёл достаточное обоснование; очевидно, что от Лейбница и до него «прагматическая» тенденция науки значительно усилилась. ↑
- 2. Уже цитированные воспоминания в Acta Eruditorum. Leipzig, 1712. ↑
- 3. Уже цитированное письмо Вариньону от 2 февраля 1702. ↑
- 4. Письмо маркизу Лопиталю. 1693. ↑
- 5. Considérations sur la différente qu’il y a entre l’Analyse ordinaire et le nouveau Calcul des transcendantes //Journal des Sçavans. 1694. ↑
- 6. См.: De Freycinet, De l'Analyse infinitésimale, стр. 21-22. – Автор добавляет: «Но первая апелляция (бесконечно малые) преобладает в языке, и мы считаем, что должны её сохранить». Здесь, безусловно, излишняя скрупулезность, так как использования не может быть достаточно, чтобы оправдать некорректность и непригодность языка, и если никогда не осмеливались выступить против злоупотреблений такого рода, то нельзя даже и стремиться ввести в термины больше точности и ясности, чем предполагает их обычное использование. ↑
- 7. См., в частности, Л. Кутура «О математической бесконечности», стр. 265, примечание: «Можно логически обосновать исчисление бесконечно малых одним лишь понятием неопределённого...» – правда, использование слова «логически» подразумевает здесь оговорку, так как для автора оно противопоставляется слову «рационально», что, впрочем, представляет собой довольно странную терминологию; к этому мнению всё же было бы интересно вернуться. ↑
- 8. «Рассуждения о метафизике исчисления бесконечно малых», стр. 7, примечание; см. там же, стр. 20. Заглавие этого труда едва ли оправдано, так как в действительности там не обнаруживается ни малейшей идеи метафизического уровня. ↑
- 9. Весьма знаменитая концепция «двух бесконечностей» Паскаля метафизически абсурдна, и она является также результатом смешения бесконечного с неопределённым, которое при этом взято в двух противоположных смыслах величин возрастающих и уменьшающихся. ↑