Глава IV Измерение непрерывного
До сих пор, когда мы говорили о числе, мы имели в виду исключительно целое число, и так логически и должно было быть, поскольку мы рассматривали числовую величину как, собственно говоря, дискретную величину: в последовательности целых чисел всегда между двумя следующими друг за другом членами имеется совершенно определенный интервал, отмеченный разностью в единицу, существующую между этими двумя числами, который, когда мы придерживаемся рассмотрения целых чисел, не может быть никоим образом устранен. Впрочем, в реальности одно только целое число и является истинным числом, тем, что можно было бы назвать чистым числом; и ряд целых чисел, начинающийся с единицы, возрастает до неопределённости, никогда не доходя до последнего члена, предположение о котором, как мы видели, противоречиво; но само собой разумеется, что он полностью разворачивается в одном-единственном направлении, и поэтому противоположное направление, которое было бы уменьшающимся до неопределённости направлением, не могло бы быть его изображением, хотя с другой точки зрения имеется, как мы это покажем далее, некоторое соответствие и что-то вроде симметрии между рассмотрением неопределённо возрастающих величин и величин, до неопределённости уменьшающихся. Тем не менее на этом мы здесь не останавливаемся, и нам приходится рассматривать различные виды чисел, иных, нежели числа целые; это, как обычно говорят, расширения или обобщения идеи числа, и это в определённом отношении верно; но в то же самое время эти расширения являются также и изменениями, и именно об этом современные математики слишком легко забывают, потому что их «конвенционализм» вынуждает их недооценивать происхождение этих расширений и их смысл. Фактически иные числа, нежели числа целые, всегда представляются прежде всего как изображения результатов операций, которые невозможны, когда придерживаются чисто арифметической точки зрения, той, что во всей строгости принадлежит лишь арифметике целых чисел: так, например, дробное число есть не что иное, как изображение результата деления, которое не осуществляется с точностью, то есть в реальности деления, которое следует назвать арифметически невозможным, что, впрочем, имплицитно признается, когда говорят, следуя терминологии обычной математики, что одно из двух рассматриваемых чисел не делимо на другое. Уместно теперь заметить, что определение, которое обычно дают дробному числу, абсурдно: дроби ни в коей мере не могут быть «частями единицы», как об этом говорят, так как истинная арифметическая единица неизбежно неделима и лишена частей; между прочим, именно из этого следует дискретность, характеризующая сущность числа, которое на её основе и формируется; но мы намерены увидеть, откуда происходит эта абсурдность.
На самом деле, совершенно неслучайно, что нам приходится таким образом рассматривать результат тех операций, о которых мы только что говорили, вместо того чтобы просто ограничиться утверждением об их невозможности; вообще говоря, это происходит именно вследствие применения числа, дискретной величины, к измерению величин, которые, как например пространственные величины, относятся к порядку непрерывного количества. Между этими модальностями количества существует такое различие в их природе, что соответствие одной из них другой нельзя в полной мере установить; чтобы в какой-то степени это устранить, стремятся сократить интервалы этого дискретного ряда, образованного рядом целых чисел, вводя между его членами другие числа, в первую очередь числа дробные, которые не имели бы никакого смысла за пределами такого рассмотрения. Теперь легко понять, что абсурдность, на которую мы только что указывали, та, что касается дефиниции дробей, берет своё начало в смешении арифметической единицы и того, что называют «единицами измерения», единицами, которые являются таковыми лишь конвенционально и которые в реальности представляют собой величины иного рода, чем число, а именно геометрические величины. Единица длины, например, есть лишь определённая длина, выбранная по причинам, чуждым арифметике, длина, которой приводится в соответствие число 1 с целью суметь измерить с её помощью иные длины; но в силу самой природы дискретной величины всякая длина, пусть даже она и изображается нумерически единицей, всегда тем не менее делима и делима до неопределённости; можно, следовательно, сравнивая с ней другие длины, рассматривать части этой единицы измерения, но они ни в коей мере не станут из-за этого частями арифметической единицы; и только так на самом деле и вводится рассмотрение дробных чисел, как изображение отношений между величинами, которые как раз и не делимы друг на друга. Измерение величины не является на самом деле чем-то иным, нежели числовым выражением её отношения к другой величине того же вида, взятой как единица измерения, то есть, в сущности, как предел сравнения; именно поэтому обычный метод измерения геометрических величин основан, по сути дела, на делении.
Следует, впрочем, сказать, что в природе дискретного числа всегда неизбежно существует нечто такое, что не позволяет таким образом получить полный эквивалент непрерывного; можно как угодно сокращать интервалы, то есть в конечном счете сокращать их до неопределённости и делать их меньшими, чем любая величина, которая будет дана заранее, но мы никогда не устраним их полностью. Чтобы лучше это понять, мы возьмем самый простой пример геометрической непрерывности, то есть прямую линию: рассмотрим полупрямую, простирающуюся до неопределённости в некотором направлении1 и условимся установить соответствие каждой её точки числу, которое выражает расстояние от этой точки до начала; последняя будет изображаться нулем, её расстояние до себя самой будет, очевидно, нулевым; исходя из этого начала целые числа будут соответствовать последовательным краям любых сегментов, равных между собой и равных единице длины; точки, установленные между ними, будут изображаться только дробными числами, поскольку их расстояние до начала не является точным произведением единицы длины. Само собой разумеется, что по мере того, как мы будем брать дробные числа, знаменатель которых будет все больше и больше, а разность, следовательно, все меньше и меньше, интервалы между точками, которым будут соответствовать эти числа, окажутся сокращенными в той же пропорции; можно таким образом уменьшать эти интервалы до неопределённости, по крайней мере теоретически, поскольку возможные знаменатели дробных чисел все являются целыми числами, последовательность которых возрастает до неопределённости.2 Мы говорим «теоретически», потому что на самом деле множество дробных чисел является неопределённым, и мы никогда не сможем дойти до того, чтобы использовать его в целом; но предположим тем не менее, что все возможные дробные числа будут в идеале приведены в соответствие точкам рассматриваемой полупрямой: несмотря на неопределённое возрастание интервалов, на этой линии останется ещё множество точек, которым не будет соответствовать никакое число. Это может на первый взгляд показаться странным и парадоксальным, и однако в этом легко убедиться, так как такая точка может быть получена посредством весьма простой геометрической конструкции: построим квадрат, имеющий стороной сегмент прямой, крайними точками которого являются ноль и 1, и начертим ту из диагоналей этого квадрата, которая отходит от начала, затем окружность, центром которой будет начало, а радиусом диагональ; точка, где эту окружность разрывает полупрямая, не может быть изображена никаким целым или дробным числом, поскольку её расстояние до начала равно диагонали квадрата, а она несоизмерима с его стороной, то есть здесь с единицей длины. Таким образом, множества дробных чисел, несмотря на неопределённое возрастание их разностей, не может быть достаточно, чтобы заполнить, если можно так сказать, интервалы между точками, находящимися на линии,3 что означает, что это множество не является реальным и адекватным эквивалентом линейной непрерывности; следовательно, мы вынуждены, чтобы выразить меру некоторых длин, вводить ещё иные разновидности числа, которые и есть то, что называют несоизмеримыми числами, то есть теми, что не имеют общей меры с единицей. Таковы иррациональные числа, то есть те, что изображают результат извлечения невозможного арифметического корня, например квадратного корня из числа, которое не является полным квадратом; таким образом, в предшествующем примере отношение диагонали квадрата к его стороне и, как следствие, точка, расстояние которой до начала равно этой диагонали, может быть изображено лишь иррациональным числом √2, которое действительно несоизмеримо, так как не существует никакого целого или дробного числа, квадрат которого был бы равен 2; и помимо этих иррациональных чисел существуют ещё и иные несоизмеримые числа, геометрическое происхождение которых очевидно, как например число π, которое изображает отношение окружности к её диаметру.
Даже не вдаваясь в вопрос о «составе непрерывного», очевидно, что число, какой бы широтой ни наделяли его понятие, никогда к непрерывному полностью неприменимо: такое применение в конечном счете всегда означает подмену непрерывного дискретным, интервалы которого могут быть весьма малыми, и даже превращение его все больше и больше в неопределённый ряд последовательных делений без того, чтобы они когда-либо могли бы быть устранены, так как в реальности нет «последних элементов», к которым такое деление могло бы привести, и непрерывная величина, какой бы малой она ни была, всегда останется до неопределённости делимой. Именно этим делениям непрерывного, собственно говоря, и соответствует рассмотрение дробных чисел; но – и здесь это особенно важно отметить – дробь, какой бы ничтожно малой она ни была, всегда является определённой величиной, а между двух дробей, каким бы малым ни предполагалось между ними различие, всегда существует также определенный интервал. Свойство неопределённой делимости, характеризующее непрерывные величины, очевидно, требует, чтобы можно было всегда брать элементы сколь угодно малые, и чтобы интервалы, существующие между этими элементами, могли также становиться меньшими, чем любая данная величина; но помимо этого – и именно здесь обнаруживается недостаточность дробных чисел и, мы можем даже сказать, любого числа, каким бы оно ни было, – эти элементы и эти интервалы, чтобы действительно перед нами была непрерывность, не должны мыслиться как нечто определённое. Как следствие, самое совершенное изображение непрерывной величины будет получено рассмотрением величин уже не застывших и определённых, как те, о которых мы только что говорили, но наоборот, переменных, потому что тогда и само их изменение можно будет рассматривать как осуществляющееся непрерывным образом; и такие величины должны быть способны до неопределённости уменьшаться, в силу их изменения, никогда не уничтожаясь и не доходя до «минимума», который был бы не менее противоречивым, чем «последние элементы» непрерывного: здесь, как мы увидим, перед нами как раз и обнаруживается истинное понятие бесконечно малых величин.
- 1. Мы увидим впоследствии в связи с геометрическим изображением отрицательных чисел, почему нам пришлось здесь рассматривать лишь полупрямую; впрочем, того факта, что ряд чисел разворачивается лишь в единственном направлении, уже, как мы выше говорили, достаточно, чтобы указать на причину. ↑
- 2. Это ещё будет уточнено, когда мы будем вести речь об обратных числах. ↑
- 3. Важно отметить, что мы не говорим о точках, которые составляют или образуют линию, что соответствовало бы ложной концепции непрерывного, как это доказывают размышления, которые мы изложим выше. ↑