Глава II. Противоречие «бесконечного числа»

Chapitre II La contradiction du « nombre infini »

Il y a des cas où il suffit, comme nous le verrons encore plus clairement par la suite, de remplacer l’idée du prétendu infini par celle de l’indéfini pour faire disparaître immédiatement toute difficulté ; mais il en est d’autres où cela même n’est pas possible, parce qu’il s’agit de quelque chose de nettement déterminé, d’ « arrêté » en quelque sorte par hypothèse, et qui, comme tel, ne peut pas être dit indéfini, suivant la remarque que nous avons faite en dernier lieu : ainsi, par exemple, on peut dire que la suite des nombres est indéfinie, mais on ne peut pas dire qu’un certain nombre, si grand qu’on le suppose et quelque rang qu’il occupe dans cette suite, est indéfini. L’idée du « nombre infini », entendu comme le « plus grand de tous les nombres » ou le « nombre de tous les nombres », ou encore le « nombre de toutes les unités », est une idée véritablement contradictoire en elle-même, dont l’impossibilité subsisterait alors même que l’on renoncerait à l’emploi injustifiable du mot « infini » : il ne peut pas y avoir un nombre qui soit plus grand que tous les autres, car, si grand que soit un nombre, on peut toujours en former un plus grand en lui ajoutant l’unité, conformément à la loi de formation que nous avons formulée plus haut. Cela revient à dire que la suite des nombres ne peut pas avoir de dernier terme, et c’est précisément parce qu’elle n’est pas « terminée » qu’elle est véritablement indéfinie ; comme le nombre de tous ses termes ne pourrait être que le dernier d’entre eux, on peut dire encore qu’elle n’est pas « nombrable », et c’est là une idée sur laquelle nous aurons à revenir plus amplement par la suite.

L’impossibilité du « nombre infini » peut encore être établie par divers arguments ; Leibnitz, qui du moins la reconnaissait très nettement¹, employait celui qui consiste à comparer la suite des nombres pairs à celle de tous les nombres entiers : à tout nombre correspond un autre nombre qui est égal à son double, de sorte qu’on peut faire correspondre les deux suites terme à terme, d’où il résulte que le nombre des termes doit être le même dans l’une et dans l’autre ; mais, d’autre part, il y a évidemment deux fois plus de nombres entiers que de nombres pairs, puisque les nombres pairs se placent de deux en deux dans la suite des nombres entiers ; on aboutit donc ainsi à une contradiction manifeste. On peut généraliser cet argument en prenant, au lieu de la suite des nombres pairs, c’est-à-dire des multiples de deux, celle des multiples d’un nombre quelconque, et le raisonnement est identique ; on peut encore prendre de la même façon la suite des carrés des nombres entiers², ou, plus généralement, celle de leurs puissances d’un exposant quelconque. Dans tous les cas, la conclusion à laquelle on arrive est toujours la même : c’est qu’une suite qui ne comprend qu’une partie des nombres entiers devrait avoir le même nombre de termes que celle qui les comprend tous, ce qui reviendrait à dire que le tout ne serait pas plus grand que sa partie ; et, dès lors qu’on admet qu’il y a un nombre de tous les nombres, il est impossible d’échapper à cette contradiction. Pourtant, certains ont cru pouvoir y échapper en admettant en même temps qu’il y a des nombres à partir desquels la multiplication par un certain nombre ou l’élévation à une certaine puissance ne serait plus possible, parce qu’elle donnerait un résultat qui dépasserait le prétendu « nombre infini » ; il en est même qui ont été conduits à envisager en effet des nombres dits « plus grands que l’infini », d’où des théories comme celle du « transfini » de Cantor, qui peuvent être fort ingénieuses, mais qui n’en sont pas plus valables logiquement³ : est-il même concevable qu’on puisse songer à appeler « infini » un nombre qui est, au contraire, tellement « fini » qu’il n’est même pas le plus grand de tous ? D’ailleurs, avec de semblables théories, il y aurait des nombres auxquels aucune des règles du calcul ordinaire ne s’appliquerait plus, c’est-à-dire, en somme, des nombres qui ne seraient pas vraiment des nombres, et qui ne seraient appelés ainsi que par convention⁴ ; c’est ce qui arrive forcément lorsque, cherchant à concevoir le « nombre infini » autrement que comme le plus grand des nombres, on envisage différents « nombres infinis », supposés inégaux entre eux, et auxquels on attribue des propriétés qui n’ont plus rien de commun avec celles des nombres ordinaires ; ainsi, on n’échappe à une contradiction que pour tomber dans d’autres, et, au fond, tout cela n’est que le produit du « conventionalisme » le plus vide de sens qui se puisse imaginer.

Ainsi, l’idée du prétendu « nombre infini », de quelque façon qu’elle se présente et par quelque nom qu’on veuille la désigner, contient toujours des éléments contradictoires ; d’ailleurs, on n’a aucun besoin de cette supposition absurde dès lors qu’on se fait une juste conception de ce qu’est réellement l’indéfinité du nombre, et qu’on reconnaît en outre que le nombre, malgré son indéfinité, n’est nullement applicable à tout ce qui existe. Nous n’avons pas à insister ici sur ce dernier point, l’ayant déjà suffisamment expliqué ailleurs : le nombre n’est qu’un mode de la quantité, et la quantité elle-même n’est qu’une catégorie ou un mode spécial de l’être, non coextensif à celui-ci, ou, plus précisément encore, elle n’est qu’une condition propre à un certain état d’existence dans l’ensemble de l’existence universelle ; mais c’est là justement ce que la plupart des modernes ont peine à comprendre, habitués qu’ils sont à vouloir tout réduire à la quantité et même tout évaluer numériquement⁵. Cependant, dans le domaine même de la quantité, il y a des choses qui échappent au nombre, ainsi que nous le verrons au sujet du continu ; et, même sans sortir de la seule considération de la quantité discontinue, on est déjà forcé d’admettre, au moins implicitement, que le nombre n’est pas applicable à tout, lorsqu’on reconnaît que la multitude de tous les nombres ne peut pas constituer un nombre, ce qui, du reste, n’est en somme qu’une application de cette vérité incontestable que ce qui limite un certain ordre de possibilités doit être nécessairement en dehors et au delà de celui-ci⁶. Seulement, il doit être bien entendu qu’une telle multitude, considérée soit dans le discontinu, comme c’est le cas quand il s’agit de la suite des nombres, soit dans le continu, sur lequel nous aurons à revenir un peu plus loin, ne peut aucunement être dite infinie, et qu’il n’y a jamais là que de l’indéfini ; c’est d’ailleurs cette notion de la multitude que nous allons avoir maintenant à examiner de plus près.

1. « En dépit de mon calcul infinitésimal, écrivait-il notamment, je n’admets pas de vrai nombre infini, quoique je confesse que la multitude des choses surpasse tout nombre fini, ou plutôt tout nombre. »⁠ ↑
2. C’est ce que faisait Cauchy, qui attribuait d’ailleurs cet argument à Galilée (Sept leçons de Physique générale, 3^e leçon).⁠ ↑
3. Déjà, à l’époque de Leibnitz, Wallis envisageait des « spatia plus quam infinita » ; cette opinion, dénoncée par Varignon comme impliquant contradiction, fut soutenue également par Guido Grandi dans son Livre De Infinitis infinitorum. D’autre part, Jean Bernoulli, au cours de ses discussions avec Leibnitz, écrivait : « Si dantur termini infiniti, dabitur etiam terminus infinitesimus (non dico ultimus) et qui eum sequuntur », ce qui, bien qu’il ne se soit pas expliqué plus clairement là-dessus, semble indiquer qu’il admettait qu’il puisse y avoir dans une série numérique des termes « au delà de l’infini ».⁠ ↑
4. On ne peut aucunement dire qu’il s’agit là d’un emploi analogique de l’idée du nombre, car ceci supposerait une transposition dans un domaine autre que celui de la quantité, et, au contraire, c’est bien à la quantité, entendue dans son sens le plus littéral, que toutes les considérations de cette sorte se rapportent toujours exclusivement.⁠ ↑
5. C’est ainsi que Renouvier pensait que le nombre est applicable à tout, au moins idéalement, c’est-à-dire que tout est « nombrable » en soi-même, quand bien même nous sommes incapables de le « nombrer » effectivement ; aussi s’est-il complètement mépris sur le sens que Leibnitz donne à la notion de la « multitude », et n’a-t-il jamais pu comprendre comment la distinction de celle-ci d’avec le nombre permet d’échapper à la contradiction du « nombre infini ».⁠ ↑
6. Nous avons dit cependant qu’une chose particulière ou déterminée, quelle qu’elle soit, est limitée par sa nature même, mais il n’y a là absolument aucune contradiction ; en effet, c’est par le côté négatif de cette nature qu’elle est limitée (car, comme l’a dit Spinoza, « omnis determinatio negatio est »), c’est-à-dire en tant que celle-ci exclut les autres choses et les laisse en dehors d’elle, de sorte que, en définitive, c’est bien la coexistence de ces autres choses qui limite la chose considérée ; c’est d’ailleurs pourquoi le Tout universel, et lui seul, ne peut être limité par rien.⁠ ↑

Глава II Противоречие «бесконечного числа»

Есть случай, где, как мы впоследствии ясно увидим, достаточно заменить идею мнимой бесконечности идеей неопределённости, чтобы незамедлительно устранить любые трудности; но есть и иные, где сделать это невозможно, потому что речь идёт о чем-то ясно определённом, об «установленном» в каком-то отношении гипотезой, что как таковое не может быть названо неопределённым в соответствии с замечанием, сделанным нами в последнюю очередь: так, например, можно сказать, что последовательность чисел является неопределённой, но нельзя сказать, что некоторое число, каким бы большим его ни предполагали и какой бы ранг оно ни занимало в этой последовательности, представляет собой нечто неопределённое. Идея «бесконечного числа», понимаемого как «самое большое из всех чисел» или как «число всех чисел», или ещё как «число всех единиц» – это идея, на самом деле сама по себе противоречивая, невозможная даже тогда, когда мы откажемся от неоправданного использования слова «бесконечность»: не может быть числа, которое было бы больше, чем все остальные, так как каким бы большим ни было число, всегда можно образовать ещё большее, добавив к нему единицу в соответствии с законом образования чисел, который мы сформулировали выше. Это означает, что последовательность чисел не может иметь последнего члена, и именно потому, что она не «завершается», она на самом деле и является неопределённой; поскольку число всех её членов может быть лишь последним из них, можно также сказать, что она не «исчисляема», и именно к этой идее нам впоследствии ещё предстоит вернуться.

Невозможность «бесконечного числа» может быть установлена с помощью различных аргументов; Лейбниц, который по крайней мере ясно это осознавал,¹ использовал тот, что заключается в сравнении последовательности четных чисел с последовательностью всех целых чисел: любому числу соответствует другое число, равное его двойному значению, и поэтому можно установить соответствие всех членов одной последовательности всем членам другой, из чего следует, что число членов должно быть одним и тем же и в той и в другой последовательности; но, с другой стороны, очевидно, имеется в два раза больше целых чисел, чем чисел четных, поскольку четные числа размещаются одно к двум в последовательности целых чисел; таким образом, мы приходим к явному противоречию. Можно обобщить этот аргумент, взяв вместо последовательности четных чисел, то есть умноженных на два, последовательность чисел, умноженных на какое-то число, и доказательство будет идентичным; можно также взять тем же самым способом последовательность квадратов целых чисел² или, более общим образом, последовательность их степеней любой величины. Во всех случаях вывод, к которому приходят, один и тот же: последовательность, которая включает лишь часть целых чисел, должна иметь то же самое число членов, что и последовательность, которая включает их все, что означает, что целое не может быть больше, чем его часть; и виду того, что мы допускаем, что есть число всех чисел, невозможно избежать этого противоречия. Однако некоторые считали, что сумели его избежать, допустив в то же самое время, что есть числа, начиная с которых умножение на определённое число или возведение в некоторую степень более невозможно, потому что оно дает результат, который превосходит мнимое «бесконечное число»; так же обстоит дело и с теми, кто вынужден на деле рассматривать числа, называемые «большими, чем бесконечность», откуда теории, подобные теории «трансфинитного» у Кантора, которые могут быть весьма изобретательными, но которые логически несостоятельны:³ укладывается ли в голове, что можно называть «бесконечным» число, которое, наоборот, является настолько «конечным», что оно даже не является самым большим из всех? Между прочим, в подобных теориях могли бы быть числа, к которым никакие правила обычного исчисления уже неприменимы, то есть в итоге числа, которые на самом деле уже не являются числами и которые могут быть названы числами лишь в силу конвенции;⁴ это неизбежно и происходит, когда, стремясь мыслить «бесконечное число» иначе, как самое большое число, рассматривают различные «бесконечные числа», предполагаемые между собой неравными, и им приписываются свойства, не имеющие больше ничего общего со свойствами обычных чисел; таким образом, избегают одного противоречия, чтобы впасть в другие, и, по сути дела, все это лишь продукт «конвенционализма», настолько лишённого смысла, насколько это можно представить.

Так, идея мнимого «бесконечного числа», каким бы образом её ни представляли и каким бы названием её ни желали обозначать, всегда содержит в себе противоречивые элементы; впрочем, нет никакой надобности в этом абсурдном предположении, как только мы создаем точную концепцию того, чем реально является неопределённость числа, и признаем, кроме этого, что число, несмотря на его неопределённость, ни в коей мере не применимо ко всему, что существует. Нам не следует здесь останавливаться на этом последнем положении, поскольку мы его в достаточной мере объяснили в другом месте: число есть лишь модус количества, а само количество – это только категория или особый модус бытия, несоразмерный ему, или, точнее, оно является лишь условием, свойственным некоторому состоянию существования в совокупности универсального существования; но именно это большинство наших современников понимают с трудом, привыкнув, что им следует стремиться все свести к количеству и даже все измерить числами.⁵ Тем не менее в самой области количества есть вещи, которые ускользают от числа, как мы это ещё увидим в случае с непрерывностью; и даже не выходя за пределы рассмотрения одной лишь дискретной величины, мы уже вынуждены допустить, по крайней мере имплицитно, что число неприменимо ко всему, когда мы признаем, что множество всех чисел не может образовать число, что, впрочем, в конечном счете является лишь применением той неоспоримой истины, что то, что ограничивает определенный порядок возможностей, должно неизбежно быть вне его и за его пределами.⁶ Только должно подразумеваться, что такое множество, рассматриваемое либо как дискретное, как в случае, когда речь идёт о последовательности чисел, либо как непрерывное, к которому нам ещё предстоит далее вернуться, ни в коей мере не может быть названо бесконечным, и здесь перед нами всегда лишь неопределённое; впрочем, именно это понятие множества мы и намерены теперь изучить более тщательно.

1. «Вопреки моему исчислению бесконечно малых, – писал он в частности, – я не допускаю истинное бесконечное число, хотя я признаю, что множество вещей превосходит любое конечное число или, скорее, любое число».⁠ ↑
2. Именно это делал Каши, который, впрочем, приписывал этот аргумент Галилею («Семь лекций по общей физике»).⁠ ↑
3. Уже в эпоху Лейбница Валлис рассматривал spatia plus quam infinita, такое мнение, отвергнутое Вариньоном как подразумевающее противоречие, было поддержано также Гвидо Гранди в его книге De Infinitis infinitorum. С другой стороны, Жан Бернулли в ходе своих дискуссий с Лейбницем, писал: Si dantur termini infiniti, dabitur etiam terminus infinitesimus (non dico ultimus) et qui eum sequuntur, что хотя и не было объяснено выше, всё же, кажется, указывает, что он допускал, что в числовой серии членов может быть такой, что находится «за пределами бесконечного».⁠ ↑
4. Нельзя никоим образом утверждать, что речь здесь идёт об аналогичном использовании идеи числа, так как это предполагало бы переход к иной области, нежели область количества, и, наоборот, именно к количеству, понимаемому в его самом буквальном смысле, все рассуждения такого рода исключительно и относятся.⁠ ↑
5. Так, Ренувье считал, что число применимо ко всему по меньшей мере идеально, то есть что все само по себе «исчислимо» даже тогда, когда мы на деле это не можем «вычислить»; кроме того, он был целиком неправ относительно того смысла, который Лейбниц придавал понятию «множества», и никогда не мог понять, как его отличие от числа позволяло избежать противоречия «бесконечного числа».⁠ ↑
6. Мы тем не менее говорили, что частная или определённая вещь, какой бы она ни была, ограничена самой своей природой, но в этом нет никакого противоречия; на самом деле, именно благодаря отрицательной стороне этой природы она и ограничена (так как, как говорил Спиноза, omnis determinatio negatio est), то есть поскольку она исключает другие вещи и оставляет их вне себя, поэтому в конечном счете именно сосуществование этих других вещей и ограничивает рассматриваемую вещь; именно поэтому, между прочим, универсальное целое, и только оно одно, не может быть ничем ограничено.⁠ ↑

Назад Далее

Минский корпус Рене Генона

Chapitre II La contradiction du « nombre infini »

Глава II Противоречие «бесконечного числа»

Поиск

Минский корпус Рене Генона

Chapitre II La contradiction du « nombre infini »

Глава II Противоречие «бесконечного числа»

Поиск

Предложить правку