Глава XXIV Истинная концепция перехода к пределу
Рассмотрение «перехода к пределу» необходимо, как говорили мы выше, если не при практических применениях метода бесконечно малых, то по крайней мере при его теоретическом обосновании, и такое обоснование как раз и есть то единственное, что для нас здесь важно, так как простые практические правила вычисления, имеющие в каком-то роде «эмпирический» успех по не очень понятным причинам, не представляют, очевидно, никакого интереса с нашей точки зрения. Несомненно, чтобы осуществлять вычисления и чтобы даже доводить их до конца, нет нужды задаваться вопросом: достигает ли переменная предела и как она его может достичь; однако если она его не достигает, то эти вычисления всегда могут иметь лишь значение простых приблизительных расчетов. Верно, что речь здесь идёт о неопределённом приближении, поскольку сама природа бесконечно малых величин позволяет получать сколь угодно малую ошибку, которую всё же невозможно полностью устранить, поскольку эти самые бесконечно малые величины при их неопределённом уменьшении никогда не становятся нулевыми. Возможно, скажут, что здесь перед нами практический эквивалент совершенно строгих вычислений; но помимо того, что речь у нас идёт не об этом, может ли само такое неопределённое приближение сохранить смысл, если в результатах, к которым следует прийти, необходимо рассматривать уже не переменные, но одни только постоянные и определённые величины? При таких условиях нельзя, с точки зрения результатов, избавиться от такой альтернативы: или предел не достигается, и тогда вычисление бесконечно малых является лишь менее грубым из методов приближения; или предел достигается, и тогда мы имеем дело с методом, который действительно является строгим. Но мы видели, что предел в силу самого своего определения никогда точно не может быть достигнут переменной; какое тогда право имеем мы говорить, что он тем не менее может быть достигнут? Он может быть достигнут, но не в ходе вычислений, а в результатах, потому что в них должны фигурировать лишь постоянные и определённые величины, такие как сам предел, а не переменные; следовательно, именно различие переменных величин и величин постоянных, различие, впрочем, чисто качественное, и является, как мы уже говорили, единственным истинным обоснованием строгости вычисления бесконечно малых.
Таким образом, ещё раз повторим, предел не может быть достигнут в изменении и в качестве его завершения; он не является последним из значений, которое должна принять переменная, и концепция непрерывного изменения, доходящего до «последнего значения» или до «последнего состояния», была бы такой же непостижимой и противоречивой, как и концепция неопределённого ряда, завершающегося «последним членом», или как концепция деления непрерывной совокупности, доходящего до «последних элементов». Предел не принадлежит, следовательно, к ряду последовательных значений переменной; он находится вне этого ряда, и именно поэтому мы говорим, что «переход к пределу» подразумевает, в сущности, дискретность. Если бы было иначе, перед нами была бы неопределённость, которая могла бы быть исчерпана аналитически, и именно это и не может иметь места; но как раз здесь различие, которое мы в этой связи установили, приобретает все своё значение, так как мы оказываемся перед одним из тех случаев, где речь идёт о достижении, согласно выражению, которое мы уже использовали, пределов некоторой неопределённости; следовательно, не без оснований одно и то же слово «предел» вновь обнаруживается вместе с другим более специальным значением в том частном случае, который мы теперь рассматриваем. Предел переменной должен действительно ограничивать в общем смысле этого слова, неопределённость состояний или возможных видоизменений, которые включает в себя определение этой переменной; и именно для этого необходимо, чтобы он обнаруживался вне того, что он должен таким образом ограничивать. Не может быть и речи об исчерпании этой неопределённости в ходе самого того изменения, которое его образует; о чем на самом деле идёт речь, так это о том, чтобы выйти за пределы области такого изменения, в которую предел не оказывается включенным, и именно такой результат и достигается, не аналитически и постепенно, но синтетически и сразу, «внезапным» в некотором роде способом, посредством которого выражается дискретность, которая тогда возникает, при переходе от переменных величин к величинам постоянным.1
Предел принадлежит исключительно к области постоянных величин: именно поэтому «переход к пределу» логически требует одновременного рассмотрения в величине двух различных модальностей, в каком-то отношении накладывающихся друг на друга; он есть не что иное, как переход к высшей модальности, в которой полностью реализуется то, что в низшей модальности существует лишь в состоянии простой тенденции, и именно в этом и состоит, если использовать аристотелевскую терминологию, истинный переход от потенции к акту, от возможности к действительности, что, разумеется, не имеет ничего общего с простой «компенсацией ошибок», которую усматривает Карно. Математическое понятие предела подразумевает, в силу самого своего определения, признак стабильности и равновесия, признак чего-то постоянного и определённого, который, очевидно, не может быть осуществлен величинами, поскольку их рассматривают в низшей модальности как переменные по своей сущности; он, следовательно, никогда не может быть достигнут постепенно, но он достигается непосредственно, посредством перехода от одной модальности к другой, перехода, который один только позволяет устранить все промежуточные стадии, потому что он включает в себя и синтетически охватывает всю их неопределённость, и благодаря которому то, что было и могло быть лишь тенденцией в переменных, подтверждается и устанавливается в реальном и определённом результате. Иначе «переход к пределу» был бы всегда просто нелогичным, так как очевидно, что поскольку мы остаемся в области переменных, то нельзя достичь того постоянства, которое свойственно пределу, где величины, которые ранее рассматривались как переменные, как раз и утрачивают этот переходный и случайный характер. Состояние переменных величин является на самом деле в высшей степени переходным и в каком-то роде несовершенным состоянием, поскольку оно представляет собой лишь выражение «становления», идею которого мы также обнаруживаем и в основе понятия самой неопределённости, которое, между прочим, тесно связано с этим состоянием изменения. Кроме того, вычисления могут совершенными, в смысле действительно завершенными, лишь когда они доходят до результатов, в которые они уже не вводят ничего ни переменного, ни неопределённого, но только постоянные и определённые величины; и мы уже видели, насколько это может применяться посредством преобразования по аналогии даже за пределами количественного порядка, который тогда имеет лишь значение символа даже в том, что непосредственно относится к метафизической «реализации» существа.
- 1. Можно было бы в связи с этим «внезапным» или «мгновенным» характером напомнить здесь, под видом сравнения с порядком естественных феноменов, пример с разрывом веревки, который мы приводили выше: этот разрыв также является пределом напряжения, но он ни в коей мере не подобен напряжению какой бы то ни было степени. ↑