Глава XXI Неопределённое является аналитически неисчерпаемым
В двух случаях, которые мы только что рассматривали, в случае с неопределённо возрастающим и неопределённо уменьшающимся одна величина определённого порядка может рассматриваться как сумма неопределённого числа элементов, каждый из которых является бесконечно малой величиной по отношению к этой сумме. Чтобы было можно говорить о бесконечно малых величинах, необходимо, чтобы речь шла об элементах, не определённых по отношению к их сумме, и так же обстоит дело, когда эта сумма является неопределённой по отношению к элементам, о которых идёт речь; это непосредственно следует из сущности характера самого неопределённого, поскольку оно неизбежно подразумевает, как мы об этом говорили, идею «становления» и, следовательно, некоторой неопределённости. Между прочим, подразумевается, что такая неопределённость может быть лишь относительной и существующей лишь с определённой точки зрения или по отношению к какой-то определённой вещи: таков, например, случай суммы, которая, будучи обычной величиной, является неопределённой не сама по себе, а только по отношению к своим бесконечно малым элементам; но в любом случае, если бы это было иначе и если бы мы не вводили это понятие неопределённости, то мы просто вернулись бы к концепции «несравнимых», истолковываемой в грубом смысле песчинки по отношению к земле, и земли по отношению к небосводу.
Сумма, о которой мы здесь говорим, ни в коей мере не может быть получена по способу арифметической суммы, потому что для этого было бы необходимо, чтобы неопределённый ряд последовательных добавлений был бы завершен, что является противоречивым; в случае, когда сумма является обычной величиной, определённой в качестве таковой, очевидно, необходимо, как мы уже говорили, формулируя определение интегрального числения, чтобы число, или, скорее, множество элементов возрастало до неопределённости в то же самое время, когда величина каждого из них до неопределённости уменьшается, и в этом смысле неопределённость этих элементов действительно является неисчерпаемой. Но если эта сумма не может быть получена таким способом, как окончательный результат множества различных и последовательных операций, она может быть наоборот, получена сразу же и посредством одной-единственной операцией, которой является интегрирование;1 это операция, обратная дифференцированию, поскольку она восстанавливает сумму исходя из её бесконечно малых элементов, тогда как дифференцирование, наоборот, идёт от суммы к элементам, обеспечивая средство сформулировать закон мгновенных изменений величины, выражение которой заранее дано.
Таким образом, как только речь идёт о неопределённости, понятие арифметической суммы более неприменимо, и необходимо прибегнуть к понятию интегрирования, чтобы восполнить невозможность «вычислить» бесконечно малые элементы, невозможность, которая, разумеется, следует из самой их природы, а не из какого-то несовершенства с нашей стороны. Мы можем мимоходом отметить, что в этом и заключается, что касается применения геометрических величин, которые, между прочим, по сути дела, являются истинным основанием любого исчисления бесконечно малых, метод измерения, полностью отличный от обычного метода, основанного на разделении величины на определённые доли, о котором ранее мы говорили в связи с «единицами измерения». Этот последний всегда в итоге означает замену каким-либо образом дискретного на непрерывное, посредством того «разрезания» на доли, равные величине того же вида, принятой за единицу,2 с целью суметь применить непосредственно число к измерению непрерывных величин, что может на самом деле произойти лишь при таком изменении их природы, которое сделает их подобными природе числа. Наоборот, другой метод следует, насколько это возможно, характеру, свойственному непрерывному, рассматривая его как сумму элементов, уже не постоянных и определённых, но, в сущности, переменных и способных уменьшаться в своем изменении ниже всякой значимой величины, и позволяя тем самым изменять пространственную величину между сколь угодно сближаемыми пределами, что является, принимая в расчет природу числа, которая, несмотря ни на что, не может меняться, наименее несовершенным представлением, которое можно составить о непрерывном изменении.
Эти наблюдения позволяют понять более точным способом, в каком смысле можно говорить, как мы это уже делали вначале, что пределы неопределённого никогда не могут быть достигнуты посредством аналитической процедуры, или, другими словами, что неопределённое является не абсолютно и никоим образом неисчерпаемым, но по меньшей мере неисчерпаемым аналитически. Мы, естественно, должны в этой связи рассматривать как аналитическую ту процедуру, которая, чтобы восстановить целое, заключалась бы в том, чтобы брать его элементы раздельно и последовательно: такова процедура образования арифметической суммы, и именно в этом от неё интегрирование, в сущности, и отличается. Это особенно интересно с нашей точки зрения, так как очевидно благодаря весьма ясному примеру, чем являются истинные отношения анализа и синтеза: вопреки обычному мнению, согласно которому анализ был в каком-то роде подготовкой к синтезу и приводил бы к нему, так что всегда следовало бы начинать с анализа, даже когда мы не намерены к нему обращаться, истина в том, что мы никогда не сможем на самом деле дойти до синтеза, исходя из анализа; всякий синтез в истинном смысле этого слова является, так сказать, чем-то непосредственным, чему не предшествует никакой анализ и от которого он полностью независим, как и интегрирование является операцией, которая осуществляется сразу же и которая ни в коей мере не предполагает рассмотрения элементов, сравнимых с элементами арифметической суммы; и подобно тому, как арифметическая сумма не может дать средство достичь и исчерпать неопределённое, так и во всех областях есть вещи, которые в силу своей природы сопротивляются всякому анализу и познание которых возможно лишь благодаря одному только синтезу.3
- 1. Термины «интеграл» и «интегрирование», использование которых было преобладающим, принадлежат не Лейбницу, а Жану Бернулли; Лейбниц в этом смысле пользовался лишь словами «сумма» и «суммирование», которые имеют то неудобство, что они, кажется, указывают на подобие между операцией, о которой идёт речь, и образованием арифметической суммы; мы, впрочем, говорим только «кажется», так как верно, что существенное различие этих двух операций не могло на самым деле остаться незамеченным для Лейбница. ↑
- 2. Или дроби этой величины, но незначительной, так как эта дробь образует тогда вторичную меньшую единицу, которая заменяется на первую, в случае, когда деление на неё не получается точным, с целью достичь точного или по меньшей мере более близкого результата. ↑
- 3. Здесь и в том, что последует, должно быть понятно, что мы принимаем термины «анализ» и «синтез» в их истинном и оригинальном значении, что необходимо позаботиться о том, чтобы отличать от того совершенно отличного и несвойственного им значения, в котором обычно говорят о «математическом анализе», и согласно которому само интегрирование, несмотря на свой, в сущности, синтетический характер, рассматривается как являющееся частью того, что называется «анализом бесконечно малых»; между прочим, именно по этой причине мы предпочитаем избегать использования этого последнего выражения, и мы используем только выражения «исчисление бесконечно малых» и «метод бесконечно малых», которые по крайней мере не дают повода никакой двусмысленности такого рода. ↑