Глава XX Различные порядки неопределённости
Логические трудности и даже противоречия, с которыми сталкиваются математики, когда рассматривают «бесконечно большие» или «бесконечно малые» величины, различающиеся между собой и даже принадлежащие к различным порядкам, происходят исключительно от того, что они рассматривают как бесконечное то, что является просто неопределённым: верно, что вообще говоря, они довольно мало занимаются этими трудностями, но эти трудности тем не менее существуют и являются поэтому серьёзными, они создают представление об этой науке как о наполненной скоплением нелогичностей, или, если угодно, «паралогизмами», лишающими её всякой ценности и всякого значения в глазах тех, кто не позволяет вводить себя в заблуждение словами. Вот несколько примеров противоречий, порождаемых теми, кто допускает существование бесконечных величин, когда речь идёт о применении этого понятия к геометрическим величинам: если рассматривается линия, например, прямая, как бесконечная, то эта бесконечность должна быть меньшей и даже бесконечно меньшей, чем та, что образована площадью, такой, как плоскость, в которой эта линия содержится вместе с бесконечным числом других, и эта вторая бесконечность в свою очередь будет бесконечно меньшей, чем бесконечность трехмерного пространства. Самой возможности сосуществования всех этих мнимых бесконечностей, часть которых имеют одну и ту же степень, а другие – различные степени, должно быть достаточно, чтобы доказать, что ни одна из них не может быть истинной бесконечностью даже без обращения к чисто метафизическому порядку; на самом деле, повторим ещё раз, так как это истины, на которых никогда не помешает лишний раз остановиться, очевидно, что если предполагается множество различных бесконечностей, каждая из них оказывается ограниченной другими, что значит, что они исключают друг друга. Правду сказать, «инфинитисты», у которых это чисто словесное накопление «бесконечности бесконечностей» происходит как разновидность «умственной интоксикации», если позволено так выразиться, ни в коей мере не отступают перед подобными противоречиями, поскольку, как мы уже говорили, они не испытывают никакого затруднения допустить, что имеются различные бесконечные числа, и что, как следствие, одна бесконечность может быть большей или меньшей, чем другая бесконечность; но абсурдность таких выражений является слишком очевидной, и тот факт, что довольно часто используются у современных математиков, ничего не меняет, но только доказывает, до какой степени самый элементарный логический смысл утрачен в нашу эпоху.
Другое противоречие, не менее явное, чем предшествующие, – это противоречие, возникающее в случае замкнутой площади, то есть очевидно и явно конечной, которая тем не менее должна содержать в себе бесконечность линий, как например сфера содержит в себе бесконечность кругов; перед нами здесь конечное содержание, содержимое которого является бесконечным, что, впрочем, имеет место, когда выдвигают, как это делает Лейбниц, утверждение об «актуальной бесконечности» непрерывной совокупности элементов. Напротив, нет никакого противоречия в допущении сосуществования неопределённых множеств различных порядков: таким образом, линия, неопределённая в одном-единственном измерении, может рассматриваться в этой связи как образующая простую неопределённость или неопределённость первого порядка; площадь, неопределённая в двух измерениях, будет тогда неопределённостью второго порядка, а трехмерное пространство, которое может включать в себя неопределённость неопределённых площадей, будет уже неопределённостью третьего порядка. Важно здесь ещё отметить, что мы утверждаем, что площадь включает в себя неопределённость линий, а не то, что она образована неопределённостью линий, так же как линия не состоит из точек, но включает в себя их неопределённое множество; таким же образом дело обстоит и с объемом по отношению к площадям, так как само трехмерное пространство есть не что иное, как неопределённый объем. Здесь, между прочим, перед нами, по сути дела, то о чем мы уже говорили выше по поводу «неделимых» и «состава непрерывности»; вопросы такого рода в силу самой их сложности относятся к числу тех, что заставляют лучше почувствовать необходимость строгого языка. Добавим также в связи с этим, что если с определённой точки зрения правомерно рассматривать линию как порожденную точкой, площадь как порожденную линией, а объем как порожденный площадью, то это, в сущности, предполагает, что такая точка, такая линия или такая площадь перемещаются посредством непрерывного движения, включающего в себя неопределённость последовательных позиций; и совершенно другое дело рассматривать эти позиции, взятые отдельно, друг за другом, то есть точки, линии и площади, рассматриваемые как постоянные и определённые, как образующие соответственно стороны или элементы линии, площади или объема. Кроме того, когда в обратном направлении рассматривают площадь как пересечение двух объемов, линию как пересечение двух площадей и точку как пересечение двух линий, то очевидно, что такие пересечения ни в коей мере не следует понимать как общие стороны этих объемов, этих площадей или этих линий; они, как говорит об этом Лейбниц, являются только или пределами, или границами.
Согласно тому, что мы только что сказали, каждое измерение вводит в каком-то роде новую степень неопределённости в протяженность, то есть в пространственную непрерывность, рассматриваемую как способную до неопределённости возрастать в широту, и поэтому получается то, что можно назвать последовательными степенями неопределённого;1 и можно сказать также, что неопределённость некоторого порядка или некоторой степени содержит неопределённое множество неопределённостей низшего порядка или меньшей степени. Пока имеется в виду только неопределённость, все эти рассуждения и рассуждения такого же рода остаются, собственно говоря, совершенно приемлемыми, так как нет никакой логической несовместимости между множественными различными неопределённостями, которые, будучи неопределёнными, имеют тем не менее конечную, в сущности, природу и поэтому вполне способны сосуществовать, как такие же частные и определённые возможности внутри общей возможности, которая одна только и является бесконечной, потому что она тождественна универсальному целому.2 Те же самые рассуждения принимают невозможную и абсурдную форму благодаря одному лишь смешению неопределённого с бесконечным; таким образом это ещё один из тех случаев, где, как и когда речь шла о «бесконечном множестве», противоречие, внутренне присущее так называемой определённой бесконечности, скрывает, искажая её до неузнаваемости, другую идею, которая сама по себе совершенно не противоречива.
Мы только что говорили о различных степенях неопределённости величин в возрастающем направлении; посредством того же самого понятия, рассматриваемого в убывающем направлении, мы уже обосновали выше рассмотрение различных порядков бесконечно малых величин, возможность которых ещё легче понять, наблюдая уже указанное нами соответствие между неопределённо возрастающим и неопределённо уменьшающимся. Среди неопределённых величин различных порядков величины иного порядка, нежели первый, всегда являются неопределёнными по отношению к величинам предшествующих порядков, как и по отношению к обычным величинам; столь же правомерно рассматривать в обратном направлении бесконечно малые величины различных порядков, причем величины каждого порядка будут бесконечно малыми не только по отношению к обычным величинам, но также и по отношению к бесконечно малым величинам предшествующих порядков.3 Нет абсолютной разнородности между неопределёнными величинами и величинами обычными, и уж тем более её нет между ними и бесконечно малыми; в конечном счете здесь есть лишь различия в степени, а не различия в природе, поскольку в реальности рассмотрение неопределённого, какого бы порядка или какой бы степени оно ни было, никогда не выводит нас за пределы конечного; как раз ложная концепция бесконечности и вводит, по видимости, между этими различными порядками величин радикальную разнородность, которая, по сути дела, совершенно непостижима. Упраздняя эту разнородность, мы устанавливаем здесь разновидность непрерывности, но совершенно отличную от той, которую Лейбниц усматривал между переменными и их пределами, и гораздо лучше обоснованную в реальности, так как различие переменных величин и величин постоянных, наоборот, подразумевает одно лишь истинное различие в природе.
При таких условиях и сами обычные величины могут, по крайней мере когда речь идёт о переменных, рассматриваться в каком-то отношении как бесконечно малые по отношению к неопределённо возрастающим величинам, так как если одна величина может стать сколь угодно большой по отношению к другой, то последняя, наоборот, тем самым становится насколько угодно малой по отношению к первой. Мы вводим такое ограничение, что речь здесь должна идти о переменных, потому что бесконечно малую величину следует всегда понимать в сущности, как переменную и потому, что здесь перед нами нечто действительно присущее самой её природе; впрочем, величины, принадлежащие двум различным порядкам неопределённости, неизбежно являются переменными по отношению друг к другу, и это свойство относительной и взаимной переменности совершенно симметрично, так как согласно тому, что мы только что сказали, одно и то же значение имеет рассмотрение одной величины как до неопределённости возрастающей по отношению к другой, или этой последней как до неопределённости уменьшающейся по отношению к первой; без этой относительной переменности нет ни неопределённого возрастания, ни неопределённого уменьшения, но только определённые отношения между двумя величинами.
Точно так же, когда имеет место изменение положения между двумя телами А и В, одно и то же значение, по крайней мере поскольку рассматривается лишь само это изменение, имеет утверждение, что тело А находится в движении по отношению к телу В, или, наоборот, тело В находится в движении по отношению к телу А; понятие относительного движения симметрично в этом отношении не меньше, чем относительная изменчивость, которую мы здесь рассматривали. Именно поэтому, следуя Лейбницу, который тем самым доказывал недостаточность картезианского механицизма как физической теории, стремящейся предоставить объяснение природных феноменов, нельзя установить различие между состоянием движения и состоянием покоя, если ограничиваться одним лишь рассмотрением изменений положения; для этого необходимо вмешательство какой-то вещи иного порядка, а именно понятия силы, которая является ближайшей причиной этих изменений и которая одна лишь может быть приписана, скорее, одному телу, чем другому, как позволяющая обнаружить в этом теле и только в нем одном истинную причину изменения.4
- 1. См.: «Символизм креста», глава XII. ↑
- 2. См.: «Множественные состояния существа», глава I. ↑
- 3. Мы сохраняем, как это обычно и делают, наименование «бесконечно малые» для величин, уменьшающихся до неопределённости, за исключением величин, до неопределённости возрастающих, которые ради краткости мы можем называть просто «неопределёнными»; довольно странно, что Карно объединил и то и другое под одним и тем же названием «бесконечно малых», что противоречит не только использованию, но и самому смыслу, который этот термин получает при своем образовании. Полностью сохраняя слово «бесконечно малые», определив его значение так, как мы это сделали, мы не можем, впрочем, не заметить, что этот термин имеет тот серьезный недостаток, что он происходит, очевидно, от слова «бесконечность», что очень мало соответствует той идее, которую он реально выражает; чтобы суметь использовать его без неудобств, необходимо в некотором роде позабыть о его происхождении, или по крайней мере приписывать ему один только «исторический» характер, как фактически вытекающий из той концепции «обоснованных фикций», которую создал Лейбниц. ↑
- 4. См.: Лейбниц Г. В. Ф., Рассуждения о метафизике, т. 1, гл. XVIII, стр. 125-163; «Царство количества и знамения времени», М., 1994, гл. XIV. ↑