Минский корпус Рене Генона

Remarques sur la notation mathématique¹

Les mathématiciens modernes, du moins ceux qui s’en tiennent aux données de la science officielle, semblent ignorer presque complètement ce qu’est le nombre ; ils réduisent toutes les mathématiques au calcul, ils remplacent le nombre par le chiffre, qui n’en est en réalité que le vêtement ; nous disons le vêtement, et non pas même le corps, car c’est la forme géométrique qui est le véritable corps du nombre, et les savants dont nous parlons ne soupçonnent même pas les rapports des nombres avec les formes géométriques. Ils emploient trop souvent une notation purement conventionnelle, qui ne correspond à rien de réel ; telle est, par exemple, la considération des nombres dits négatifs, ainsi que nous le verrons par la suite. Nous ne voulons pas dire cependant que les chiffres mêmes soient des signes entièrement arbitraires, dont la forme ne serait déterminée que par la fantaisie d’un ou de plusieurs individus ; il doit en être des caractères numériques comme des caractères alphabétiques, dont ils ne se distinguent d’ailleurs pas dans certaines langues, telles que l’hébreu et le grec, et nous étudierons peut-être un jour la question de l’origine hiéroglyphique, c’est-à-dire idéographique de toutes les écritures ; pour le moment, nous nous contenterons de renvoyer, sur ce point, aux travaux de Court de Gébelin et de Fabre d’Olivet.

Ce qu’il y a de certain, c’est que les mathématiciens emploient dans leur notation des symboles dont ils ne connaissent plus le sens ; ces symboles semblent des vestiges de traditions oubliées, du Pythagorisme ou de la Kabbale, qui, par les Arabes du moyen âge, sont parvenus jusqu’à nous, mais dont bien peu ont su reconnaître la véritable valeur. Nous ne faisons que signaler en passant, sauf à y revenir plus tard, le rapport de la numération décimale avec la génération du cercle par le rayon émané du centre ; il y aurait lieu d’indiquer à ce propos comment la production successive des nombres à partir de l’unité peut servir à symboliser l’évolution universelle ; mais nous nous bornerons maintenant à considérer le zéro, l’unité, et ce qu’on appelle à tort l’infini.

Nous disons ce qu’on appelle à tort l’infini, car ce que les mathématiciens représentent par le signe ∞ ne peut pas être l’Infini au sens métaphysique de ce mot ; ce signe ∞ est une figure fermée, donc finie, tout aussi bien que le cercle dont certains ont voulu faire un symbole de l’éternité, tandis qu’il ne peut être qu’une figuration d’un cycle temporel. D’ailleurs, l’idée d’un nombre infini, c’est-à-dire, d’après les mathématiciens, d’un nombre plus grand que tout autre nombre, est une idée contradictoire, car, si grand que soit un nombre N, le nombre N + 1 est toujours plus grand. Il est évidemment absurde de vouloir définir l’Infini, car une définition est nécessairement une limitation, les mots mêmes le disent assez clairement, et l’Infini est ce qui n’a pas de limites ; chercher à le faire entrer dans une formule, c’est-à-dire à le revêtir d’une forme, c’est s’efforcer de faire entrer le Tout universel dans une de ses parties les plus infimes, ce qui est impossible ; enfin, concevoir l’Infini comme une quantité, c’est le concevoir comme susceptible d’augmentation ou de diminution, ce qui est encore absurde. Avec de semblables considérations, on en arrive vite à envisager plusieurs infinis qui coexistent sans se confondre ni s’exclure, des infinis qui sont plus grands ou plus petits que d’autres infinis, et même, l’infini ne suffisant plus, on invente le transfini, c’est-à-dire le domaine des nombres plus grands que l’infini : autant de mots, autant d’absurdités.

Ce que nous avons dit pour l’infiniment grand est aussi vrai pour ce qu’on appelle l’infiniment petit : si petit que soit un nombre ¹/_N, le nombre ¹/_{N + 1} sera encore plus petit. Il n’y a en réalité ni infiniment grand ni infiniment petit, mais on peut envisager la suite des nombres comme croissant ou décroissant indéfiniment, de sorte que le prétendu infini mathématique n’est bien que l’indéfini. Il importe de remarquer que l’indéfini est encore limité ou fini : bien que nous n’en connaissions pas les limites, nous savons cependant que ces limites existent, car l’indéfini, ou un indéfini, n’est qu’une partie du Tout, qui est limité par l’existence même des autres parties ; ainsi, un monde tel que le monde matériel envisagé dans son ensemble est indéfini, tout en n’étant qu’un point par rapport à l’Infini. On peut même ajouter les uns aux autres un nombre quelconque d’indéfinis, ou les multiplier les uns par les autres ; le rapport du résultat obtenu à l’Infini est toujours nul, car la Possibilité universelle comprend une infinité de possibilités particulières dont chacune est indéfinie. Il est facile de comprendre par là ce que signifient réellement les absurdités que nous avons signalées précédemment, et qui cessent d’être des absurdités lorsqu’on remplace le prétendu infini mathématique par l’indéfini. En même temps, nous avons montré d’une façon précise l’impossibilité d’arriver à la Synthèse par l’analyse : on aura beau ajouter les uns aux autres un nombre indéfini d’éléments, on n’obtiendra jamais le Tout, parce que le Tout est infini, et non pas indéfini ; on ne peut pas le concevoir autrement que comme infini, car il ne pourrait être limité que par quelque chose qui lui serait extérieur, et alors il ne serait plus le Tout ; il est bien la somme de tous ses éléments, mais en entendant le mot de somme au sens d’intégrale, et une intégrale ne se calcule pas en prenant ses éléments un à un ; si même on a parcouru analytiquement un ou plusieurs indéfinis, on n’a pas avancé d’un pas au point de vue universel, on est toujours au même point par rapport à l’Infini.

Nous avons dit que la série des nombres peut être considérée comme indéfinie dans les deux sens ; on peut envisager d’une part les nombres entiers, indéfiniment croissants, et d’autre part leurs inverses, indéfiniment décroissants. Ces deux séries partent l’une et l’autre de l’unité, qui seule est à elle-même son propre inverse, et il y a autant de nombres dans une des séries que dans l’autre, de sorte qu’on peut dire que l’unité occupe exactement le milieu dans la suite des nombres. En effet, à tout nombre n de l’une des séries correspond dans l’autre série un nombre ¹⁄_n, tel que l’on ait :

n × ¹⁄_n = 1 ;

l’ensemble des deux nombres inverses, se multipliant l’un par l’autre, reproduit l’unité. On peut généraliser encore, et, au lieu de considérer seulement la série des nombres entiers et de leurs inverses comme nous venons de le faire, envisager d’un côté tous les nombres plus grands que l’unité, et de l’autre tous les nombres plus petits que l’unité. Ici encore, à tout nombre ^a⁄_b > 1, il correspondra dans l’autre groupe un nombre inverse ^b⁄_a < 1, et réciproquement, de telle façon que l’on ait :

^a⁄_b × ^b⁄_a = 1,

et il y aura exactement autant de nombres dans l’un et l’autre des deux groupes indéfinis séparés par l’unité. On peut dire encore que l’unité, occupant le milieu, correspond à l’équilibre parfait, et qu’elle contient en puissance tous les nombres, lesquels émanent d’elle par couples de nombres inverses ou complémentaires, chacun de ces couples constituant une unité relative en son indivisible dualité ; nous développerons par la suite les conséquences qui se déduisent de ces diverses considérations.

Pour le moment nous pouvons nous borner à considérer, comme nous l’avions fait tout d’abord, la série des nombres entiers et celle de leurs inverses ; on pourrait dire qu’ils tendent d’une part vers l’indéfiniment grand et de l’autre vers l’indéfiniment petit, en entendant par là les limites mêmes du domaine dans lequel on considère ces nombres, car une quantité variable ne peut tendre que vers une limite. Ne connaissant pas ces limites, nous ne pouvons pas les fixer d’une façon précise, mais nous pouvons considérer un nombre comme pratiquement indéfini lorsqu’il ne peut plus être exprimé par le langage ni par l’écriture, ce qui arrive nécessairement à un moment donné lorsque ce nombre va toujours en croissant. À ce propos, il y aurait lieu de se demander pourquoi la langue chinoise représente symboliquement l’indéfini par le nombre dix mille ; en grec, la même chose se produit, et un seul mot, avec une simple différence d’accentuation, sert à exprimer les deux idées : μὺριοι, dix mille ; μυρίοι, une indéfinité ; nous essayerons plus tard de donner l’explication de ce fait. Quoi qu’il en soit, l’indéfiniment grand est, comme nous l’avons dit, ce que représente le signe ∞ ; quant à l’indéfiniment petit, qui peut être regardé comme tout ce qui diminue au-delà des limites de nos moyens d’évaluation, et par suite nous sommes conduits à considérer comme inexistant par rapport à nous, on peut, sans faire intervenir ici la notation différentielle ou infinitésimale, le représenter dans son ensemble par le symbole o, bien que ce ne soit là, à vrai dire, qu’une des significations du zéro.

La série des nombres, telle que nous l’avons considérée est donc la suivante :

0 .......... ¹⁄₅, ¹⁄₄, ¹⁄₃, ¹⁄₂, 1, 2, 3, 4, 5, ........... ∞ ;

deux nombres équidistants de l’unité centrale sont inverses ou complémentaires, donc reproduisent l’unité par multiplication, de sorte que, pour les deux extrémités de la série, on est amené à écrire :

0 × ∞ = 1.

Cependant, les signes 0 et ∞ représentent chacun un domaine, et non un nombre déterminé, ceci résulte immédiatement de ce qui précède ; par suite, l’expression 0 × ∞ constitue ce qu’on appelle une forme indéterminée, et l’on doit écrire :

0 × ∞ = n,

n étant un nombre quelconque. On voit encore très nettement ici que le symbole ∞ ne représente point l’Infini, car l’Infini ne peut pas plus s’opposer au zéro qu’à l’unité ou à un nombre quelconque ; étant le Tout, il contient aussi bien le Non-Être que l’Être, de sorte que le zéro lui-même doit être considéré comme compris dans l’Infini.

Nous avons dit que l’indéfiniment petit n’est pas l’unique signification du zéro, et même ce n’est pas la plus importante du point de vue métaphysique ; il est étrange que les mathématiciens aient l’habitude d’envisager le zéro comme pur néant, et que cependant il leur soit impossible de ne pas le regarder comme doué d’une puissance indéfinie ; puisque, placé à la droite d’un autre chiffre dit significatif, il contribue à former la représentation d’un nombre qui, par la répétition de ce même zéro, peut croître indéfiniment. Si réellement le zéro était un pur néant, il ne pourrait pas en être ainsi, et même il ne serait alors qu’un signe inutile, dépourvu de toute valeur ; mais il en est tout autrement si on le regarde comme représentant le Non-Être, envisagé comme possibilité d’être, donc comme contenant l’Être en puissance, ainsi que nous l’avons dit dans notre étude sur le Démiurge. On peut alors dire que le Non-Être est supérieur à l’Être, ou, ce qui revient au même, que le non-manifesté est supérieur au manifesté, puisqu’il en est le principe. Ainsi, si on considère l’Être comme représenté par l’unité, on pourra dire que le zéro est l’unité non manifestée, ou encore que l’unité n’est que le zéro affirmé, cette affirmation étant le point de départ de toutes les manifestations qui se déploieront dans la multiplicité indéfinie des nombres. L’unité non manifestée, ou l’unité en soi, qui contient tous les nombres en principe, mais qui n’est aucun des nombres, c’est ce qu’on appelle l’Absolu, à la fois Être et Non-Être, bien que n’étant ni l’un ni l’autre, tout en puissance et rien en acte ; c’est aussi la Possibilité universelle, qui est infinie, et l’on comprend ainsi que, dans l’Absolu, le zéro est égal à l’Infini. C’est qu’on a appelé à tort l’identité des contraires ; en réalité, il n’y a point de contraires, et, si les extrêmes se rejoignent, c’est qu’il n’y a qu’un extrême ; c’est là ce que la tradition extrême-orientale représente par la figure de l’Yn-Yang, le symbole du Grand Extrême, Taï-ki.

Laissons maintenant de côté ce que nous pourrions appeler le zéro métaphysique, qui est au zéro mathématique, dont nous avons parlé précédemment en envisageant la double série des nombres croissants ou décroissants, ce que l’Infini est au simple indéfini. Le domaine du zéro mathématique, ou de l’indéfiniment petit, comprend, dans la suite indéfinie des nombres, tout ce qui est au-delà de nos moyens d’évaluation dans un certain sens, comme le domaine de l’indéfiniment grand comprend, dans cette même suite, tout ce qui est au-delà de ces mêmes moyens d’évaluation dans l’autre sens. Il n’y a donc pas lieu de parler de nombres moindres que zéro, pas plus que de nombres plus grands que l’indéfini ; c’est cependant ce qu’on a voulu faire, bien que dans un sens un peu différent de celui que nous avons indiqué, en introduisant en mathématiques la considération des nombres dits négatifs.

On a même donné de ces nombres négatifs une représentation géométrique, en comptant, sur une droite, les distances comme positives ou comme négatives suivant qu’elles sont parcourues dans un sens ou dans l’autre, et en fixant sur cette droite un point pris comme origine, à partir duquel les distances sont dites positives d’un côté et négatives de l’autre, l’origine étant affectée du coefficient zéro ; sur un cercle, on distinguer de même un sens positif et un sens négatif de rotation. La droite étant indéfinie dans les deux sens, on est amené à envisager un indéfini positif et un indéfini négatif, que l’on représente par les + ∞ et − ∞, et que l’on désigne par les expressions absurdes « plus l’infini » et « moins l’infini » ; on se demande ce que pourrait bien être un infini négatif. Il est vrai qu’on est ensuite conduit, en particulier dans l’étude de la variation des fonctions, à regarder l’indéfini négatif comme confondu avec l’indéfini positif, de sorte qu’un mobile partant de l’origine et s’en éloignant constamment dans le sens positif reviendrait du côté négatif au bout d’un temps indéfini, ou inversement, d’où il résulte que ce que l’on considère ici comme une droite doit être en réalité une figure fermée ; pour le moment, nous n’insisterons pas sur ce point.

Quels que soient les avantages de l’emploi des nombres négatifs, on ne devrait jamais oublier que cette notation, dite algébrique par opposition à la notation arithmétique qui considère les nombres comme essentiellement positifs, n’est qu’un procédé artificiel pour simplifier les calculs ; si on veut en faire une réalité, elle présente de graves inconvénients, et nous nous contenterons de signaler les confusions multiples résultant de l’introduction des quantités dites imaginaires, qui se présentent comme racines des nombres négatifs, et qui correspondent cependant à quelque chose de réel. C’est encore là un point que nous ne pouvons qu’indiquer maintenant ; nous insisterons seulement sur les conséquences de l’emploi des nombres négatifs au point de vue de la mécanique, et sur la possibilité d’y substituer une autre notation plus logique et plus conforme à la réalité.

Disons d'ailleurs tout de suite que les prétendus principes sur lesquels les mathématiciens modernes font reposer la mécanique telle qu’ils la conçoivent ne sont que des hypothèses plus ou moins ingénieuses, ou de simples cas particuliers de lois beaucoup plus générales, qui dérivent elles-mêmes des véritables principes universels, dont elles ne sont que des applications. Nous pouvons citer, comme exemple du premier cas, le soi-disant principe de l’inertie, que rien ne justifie, ni l’expérience qui montre au contraire qu’il n’y a point d’inertie dans la nature, ni l’entendement qui ne peut concevoir cette prétendue inertie. Un exemple du second cas est ce qu’on appelle le principe de l’égalité de l’action et de la réaction, qui se déduit immédiatement de la loi générale de l’équilibre des forces naturelles : chaque fois que cet équilibre est rompu, il tend aussitôt à se rétablir, d’où une réaction dont l’intensité est équivalente à celle de l’action qui l’a provoquée ; c’est précisément sur cette question de l’équilibre que nous devons insister ici.

On représente habituellement deux forces qui se font équilibre par deux vecteurs opposés : si deux forces appliquées en un même point ont la même intensité et la même direction, mais en sens contraires, elles se font équilibre. Comme elles sont alors sans action sur leur point d’application, on dit même qu’elles se détruisent, sans prendre garde que, si l’on supprime l’une de ces forces, l’autre agit aussitôt, ce qui prouve qu’elle n’était nullement détruite. On caractérise les forces par des coefficients proportionnels à leurs intensités respectives, et deux forces de sens contraires sont affectées de coefficients de signes différents, l’un positif et l’autre négatif : l’un étant ƒ, l’autre sera −ƒ′. Dans le cas que nous venons de considérer, les deux forces opposées ayant la même intensité, les coefficients qui les caractérisent doivent être égaux « en valeur absolue » (encore une expression au moins étrange), et l’on a : ƒ=ƒ′, d’où l’on déduit comme condition de l’équilibre :

ƒ − ƒ′ = 0,

c’est-à-dire que la somme des deux forces est nulle, de telle sorte que l’équilibre est ainsi défini par zéro. Comme les mathématiciens regardent, à tort d’ailleurs, le zéro comme un symbole du néant (comme si le néant pouvait être symbolisé par quelque chose), il semble résulter de là que l’équilibre est l’état de non-existence, ce qui est une conséquence assez singulière ; c’est sans doute pour cette raison qu’on dit que deux forces qui se font équilibre se détruisent, ce qui est contraire à la réalité, ainsi que nous venons de le faire voir.

La véritable notion de l’équilibre est tout autre : pour la comprendre, il suffit de remarquer que toutes les forces naturelles sont ou attractives ou répulsives ; les premières peuvent être considérées comme forces compressives ou de condensation, les secondes comme forces expansives ou de dilatation. Il est facile de comprendre que, dans un milieu homogène, à toute compression se produisant en un point correspondra nécessairement en un autre point une expansion équivalente, et inversement, de sorte qu’on devra toujours envisager deux centres de forces dont l’un ne peut pas exister sans l’autre ; c’est là le principe de la loi de la polarité, qui est applicable à tous les phénomènes naturels, et qui est surtout évidente dans les phénomènes électriques et magnétiques. Si deux forces, l’une compressive et l’autre expansive, agissent sur un même point, la condition pour qu’elles se fassent équilibre ou se neutralisent, c’est-à-dire pour qu’en ce point il ne se produise ni condensation ni dilatation, est que les intensités de ces deux forces soient, nons pas égales, mais équivalentes. On peut caractériser les forces par des coefficients proportionnels à la condensation ou à la dilatation qu’elles produisent, de telle sorte que, si l’on envisage une force compressive et une force expansive, la première sera affectée d’un coefficient n > 1, et la seconde d’un coefficient n′ < 1 ; chacun de ces coefficients peut être le rapport de la densité que prend le milieu ambiant au point considéré sous l’action de la force correspondante à la densité primitive de ce même milieu, supposé homogène lorsqu’il ne subit l’action d’aucune force. Lorsqu’il ne se produit ni condensation ni dilatation, ce rapport est égal à l’unité ; pour que deux forces agissant en un point se fassent équilibre, il faut donc que leur résultante ait pour coefficient l’unité. Il est facile de voir que le coefficient de cette résultante est le produit des coefficients des deux forces considérées ; ces deux coefficients n et n′ devront donc être deux nombres inverses l’un de l’autre : n′ = ¹⁄_n et l’on aura comme condition de l’équilibre :

nn′ = 1 ;

ainsi, l’équilibre sera défini, non plus par zéro, mais par l’unité.

On voit que cette définition de l’équilibre par l’unité, la seule réelle, correspond au fait que l’unité occupe le milieu dans la suite des nombres, ainsi que nous l’avons dit précédemment. Bien loin d’être l’état de non-existence, l’équilibre est l’existence envisagée en dehors de ses manifestations multiples ; remarquons d’ailleurs qu’il est encore un état inférieur à ce que nous avons appelé le Non-Être, au sens métaphysique de ce mot, car l’existence, quoique indépendante de toute manifestation, en est cependant le point de départ. L’unité, telle que nous venons de la considérer, et dans laquelle réside l’équilibre, est ce que la tradition extrême-orientale appelle l’Invariable Milieu, Tchoung-young ; d’après divers textes chinois, cet équilibre ou cette harmonie est, dans chaque modalité de l’être, le reflet de l’Activité du Ciel. (Nous avons trouvé récemment dans une revue que nous ne nommerons pas, la paraphrase digne de feu Stanislas Julien : « la musique est une imitation de ce qui se passe au Ciel » ! Pour éviter un semblable contresens, il aurait suffi de connaître, même très vaguement, le sens de l’idéogramme Tien, qu’on traduit par Ciel.)

Nous bornerons là ces quelques remarques sur la notation mathématique ; ce que nous venons de dire au sujet de la mécanique ne doit être regardé que comme une simple indication, mais nous sommes certain que, si on approfondissait cette étude dans ce sens, on pourrait en tirer beaucoup de conséquences intéressantes.