Предисловие
Хотя настоящее исследование может показаться, по крайней мере на первый взгляд, лишь в незначительной степени имеющим «специальный» характер, нам представлялось полезным предпринять его, чтобы уточнить и более полно объяснить некоторые понятия, к которым нам по различным поводам приходилось обращаться, когда мы использовали математический символизм, и этого довода в конечном счете достаточно, чтобы это исследование оправдать и чтобы более на этом не останавливаться. Тем не менее мы должны сказать, что к этому могут быть добавлены ещё и иные второстепенные причины, касающиеся главным образом того, что можно называть «исторической» стороной вопроса; она и на самом деле не лишена, с нашей точки зрения, интереса в том смысле, что все дискуссии, возникающие по поводу природы и ценности исчисления бесконечно малых, представляют собой поразительный пример того отсутствия принципов, которое характеризует профанные науки, то есть те единственные науки, которые наши современники знают и которые они считают возможными. Мы уже нередко отмечали, что большинство этих наук, даже в той мере, в какой они ещё соответствуют некоторой реальности, не представляют собой ничего, кроме простых выродившихся останков некоторых из древних традиционных наук; когда они перестали поддерживать связь с принципами и утратили тем самым своё истинное изначальное значение, их низшая сторона в конце концов обрела независимое развитие и стала рассматриваться как достаточное само по себе знание, хотя, по сути дела, его собственная ценность как знания как раз и оказывается доведенной почти до полной ничтожности. Главным образом это проявляется, когда речь идёт о физических науках, но, как мы уже объясняли в ином месте,1 и сама современная математика не представляет собой в этом отношении исключения, если сравнить её с тем, чем была для древних наука чисел и геометрия; когда мы здесь говорим о древних, то следует под этим понимать «классическую» древность, так как самого незначительного изучения пифагорейских теорий и теорий платонизма достаточно, чтобы это доказать, или по крайней мере должно быть достаточно, если не принимать в расчет необычайную непонятливость тех, кто стремится сегодня эти науки интерпретировать; если бы эта непонятливость не была столь законченной, то как можно было бы поддерживать, например, мнение об «эмпирическом» происхождении тех наук, о которых идёт речь, тогда как на самом деле они, наоборот, оказываются тем более далекими отвсякого «эмпиризма», чем в более глубокую древность мы погружаемся, и так же, между прочим, обстоит дело с любой отраслью научного познания?
Математики в современную эпоху дошли, кажется, до того, что уже не знают, чем на самом деле является число; мы не слышим, чтобы они говорили не только о числе, взятом в символическом и аналогическом смысле, как его понимали пифагорейцы и каббалисты, что в целом вполне объяснимо, но мы, что может показаться более странным и даже парадоксальным, не слышим даже и того, что они говорят о числе в его простом количественном значении. На самом деле они любую науку сводят к калькуляции, которая для них представляет собой простую совокупность более или менее поверхностных процедур, что в конечном счете означает, что они заменяют число цифрой; кроме того, это смешение числа с цифрой настолько в наши дни распространено, что его в любое мгновение можно обнаружить даже в выражениях разговорного языка.2 Но цифра, собственно говоря, – это не более чем оболочка числа; мы даже не говорим, что это его тело, так как, скорее, геометрическая форма может в некоторых отношениях правомерно рассматриваться как истинное тело числа, как это доказывают теории древних о многоугольниках и многогранниках, имевшие прямую связь с символизмом чисел; и это, между прочим, согласуется с тем фактом, что любое «воплощение» неизбежно подразумевает «перенесение в пространство». Мы тем не менее не желаем сказать, что сами цифры являются полностью произвольными знаками, форма которых определялась бы лишь фантазией одного или нескольких индивидов; они должны быть числовыми знаками, а также знаками алфавита, от которых они, впрочем, в некоторых языках3 не отличаются, и можно как к первым, так и ко вторым применить понятие иероглифического, то есть идеографического или символического происхождения, которое подходит для всех письменностей без исключения, каким бы туманным не могло быть в некоторых случаях их происхождение в силу более или менее поздних искажений и изменений.
В чем можно быть уверенным, так это в том, что математики в своем обозначении используют символы, смысла которых сами они не понимают, и которые являются чем-то вроде следов забытых традиций; более серьёзным является тот факт, что они не только не спрашивают себя, каким может быть этот смысл, но, кажется, даже и не желают, чтобы он вообще был. В действительности они все больше и больше склоняются к тому, чтобы рассматривать всякое обозначение как простую «конвенцию», под которой они понимают нечто такое, что устанавливается полностью случайным образом, что, в сущности, совершенно невозможно, так как конвенция никогда не устанавливается, если для этого нет причины, и причины именно такой-то, а не любой другой; только для тех, кто этой причины не знает, конвенция может быть произвольной, так же как для тех, кто не знает причины события, оно может показаться «непредвиденным»; именно это здесь и происходит, и мы можем видеть в этом одно из самых крайних последствий отсутствия принципа, доходящего даже до утраты наукой, или тем, что так называют, так как тогда она больше ни в каком отношении не заслуживает этого названия, всякого правдоподобия. Между прочим, в силу самого факта существования сегодня концепции исключительно количественной науки, этот «конвенционализм» распространяется постепенно из математики в физику, в её самые последние теории, тем самым все больше и больше удаляющиеся от той реальности, которую они стремятся объяснить; мы достаточно останавливались на этом в другой работе, чтобы избавиться от необходимости говорить об этом что-то ещё, тем более что теперь нас более частным образом занимает одна лишь математика. Мы добавим только, что когда полностью утрачивается смысл обозначения, то слишком легко перейти от правомерного и обоснованного его использования к использованию неправомерному, которое больше в действительности ничему не соответствует и которое может быть даже иногда совершенно нелогичным; это может показаться странным, когда речь идёт о такой науке, как математика, которая должна иметь с логикой особенно тесные связи, и тем не менее, не погрешив против истины, можно отметить немало нелогичного в математических понятиях, какими они обычно рассматриваются в нашу эпоху.
Один из наиболее замечательных примеров таких нелогичных понятий, тот, что мы прежде всего должны здесь рассмотреть, хотя он будет и не единственным, с которым мы столкнемся в ходе нашего изложения, – это пример с так называемой математической или количественной бесконечностью, которая является источником почти всех затруднений, встающих на пути исчисления бесконечно малых или, может быть точнее, на пути метода исчисления бесконечно малых, так как что бы об этом ни думали «конвенционалисты», есть в этом нечто такое, что превосходит значение простого «расчета» в обычном смысле этого слова; есть исключение, которое надо сделать для тех из этих затруднений, которые происходят от ошибочной или неудовлетворительной концепции понятия «предела», необходимого для обоснования строгости этого метода исчисления бесконечно малых и для того, чтобы сделать из него нечто иное, нежели простой метод аппроксимации. Впрочем, как мы увидим, необходимо делать различие между тем случаем, где так называемое бесконечное выражает лишь простой абсурд, то есть идеей, которая сама по себе противоречива как идея «бесконечного числа», и тем случаями, где бесконечное неправомерным образом используется в смысле неопределённого; однако не следовало бы полагать, что само смешение бесконечного и неопределённого сводится к простой проблеме употребления слов, так как на самом деле оно распространяется и на сами идеи. Странно, что такое смешение, которое было бы достаточно рассеять, чтобы в корне пресечь многие дискуссии, было совершено и самим Лейбницем, который обычно рассматривается как изобретатель исчисления бесконечно малых и которого мы назовем, скорее, автором его «формулы», так как этот метод соответствует некоторым реальностям, которые как таковые обладают существованием, не зависящим о того, кто их мыслит и кто их с большим или меньшим совершенством выражает; реальности математического порядка могут быть, как и все остальные, лишь открыты, а не изобретены, тогда как, наоборот, именно об «изобретении» идёт речь, когда, увлекаясь «игрой» обозначений, оказываются в царстве чистой фантазии; но насколько трудно разъяснить это различие математикам, которые охотно воображают, что вся их наука не является и не должна являться чем-то иным, кроме «конструкции человеческого разума», что, разумеется, сводило бы её, если бы в это пришлось поверить, к тому, чем на самом деле она не является! Как бы то ни было, Лейбниц никогда так и не смог ясно объясниться по поводу принципов своего исчисления, и именно это и доказывает, что здесь есть нечто такое, что было выше его понимания и что привлекало его к себе, хотя он этого и не осознавал; если бы он отдавал себе в этом отчет, он бы, разумеется, не вступил по этому поводу в спор о «приоритете» с Ньютоном, и, между прочим, такие споры всегда являются совершенно напрасными, так как идеи в той мере, в какой они истинны, не могут быть личной собственностью, несмотря на современный «индивидуализм», и было бы ошибкой приписывать эту собственность человеческим индивидам. Мы не будем более распространяться по поводу этого вопроса, который мог бы увести нас довольно далеко от предмета нашего исследования, хотя было бы, может быть, небесполезно в некоторых отношениях разъяснить, что роль тех, кого называют «великими людьми», часто, в большинстве случаев, является ролью «приемника», хотя сами они обычно первые и строят иллюзии по поводу своей «оригинальности».
В данный момент нас непосредственно более заботит следующее: если мы должны констатировать такие недостатки у Лейбница, и тем более серьёзные недостатки, поскольку они касаются принципиальных вопросов, то как может обстоять дело с другими современными философами и математиками, которых он, разумеется, несмотря ни на что, превосходит? Это превосходство ему, с одной стороны, обеспечивает предпринятое им изучение средневековых схоластических учений, хотя он и не всегда их полностью понимал, а с другой – некоторые эзотерические сведения, полученные главным образом от розенкрейцеров,4 сведения, очевидно, весьма неполные и даже фрагментарные, которые, впрочем, ему довольно плохо удавалось применять, и мы ещё увидим здесь несколько примеров такого применения; с этими двумя «источниками», если выражаться так, как выражаются историки, необходимо связывать в конечном счете всё то, что имеется действительно ценного в его теориях, и именно это и позволяло ему, пусть и несовершенно, выступать против картезианства, которое представляло собой тогда, в области науки и философии, всю совокупность наиболее специфичных для Нового времени концепций и тенденций. Этого замечания в конечном счете достаточно, чтобы несколькими словами объяснить всё то, чем был Лейбниц, и если мы хотим его понять, то никогда не следует упускать из виду эти общие указания, которые мы по этой причине и сочли нужным с самого начала сформулировать; но пора оставить эти предварительные рассуждения, чтобы приступить к изучению тех самых вопросов, которые позволят нам определить истинное значение исчисления бесконечно малых величин.
- 1. См.: «Царство количества и знамения времени». М., 1994. ↑
- 2. Есть даже «псевдо-эзотерики», которые столь мало знают о том, о чем желают говорить, что они никогда не упускают случая допустить это самое смешение в тех фантастических разглагольствованиях, которыми они стремятся заменить традиционную науку чисел! ↑
- 3. Такими были древнееврейский и древнегреческий языки, а также и арабский до введения использования цифр индийского происхождения, которые впоследствии, в той или иной мере видоизменяясь, приходят оттуда и в средневековую Европу; можно заметить по этому поводу, что само слово «цифра» есть не что иное, как арабское çifr, хотя это слово было на самом деле лишь обозначением нуля. Верно, что в древнееврейском, с другой стороны, saphar означает «считать» или «перечислять», а также «писать», откуда sepher, «письмо» или «книга» (на арабском Sifr, слово, которое, в частности, обозначает священную книгу), и sephar, «перечисление» или «расчет»; от этого последнего слова идёт также обозначение сефирот в Каббале, которые были перечислением принципов, уподобляемых божественным атрибутам. ↑
- 4. Бесспорный знак такого влияния обнаруживается в герметической фигуре, размещенной Лейбницем на титульном листе своего трактата De Arte combinatorial: это изображение Rota Mundi, «мирового колеса», на котором в центре двойной креста стихий (огня и воды, воздуха и земли) и качеств (тепла и холода, сухости и влажности), quinta essentia символизирует роза с пятью лепестками (соответствующая эфиру, рассматриваемому и как сам эфир, и как принцип четырёх остальных элементов); естественно, эта «сигнатура» осталась полностью незамеченной всеми университетскими комментаторами! ↑