Минский корпус Рене Генона

Глава XVIII Переменные и постоянные величины

Вернемся теперь к вопросу об обосновании строгости исчисления бесконечно малых: мы уже видели, что Лейбниц рассматривает как равные те величины, разность которых, не будучи нулевой, несравнима с самими этими величинами; иными словами, бесконечно малые величины, которые не являются nihila absoluta, являются тем не менее nihila respective, и ими, как таковыми, следует пренебрегать с точки зрения обычных величин. К несчастью, понятие «несравнимых» остается слишком неточным, чтобы доказательство, опирающееся лишь на это понятие, могло быть полностью достаточным, чтобы установить строгий характер исчисления бесконечно малых; в этом аспекте исчисление предстает в конечном счете лишь как метод неопределённого приближения, и мы не можем вместе с Лейбницем сказать, что «когда это установлено, следует не только, что ошибка является бесконечно малой, но что она полностью ничтожна»;1 но не было ли иного более строгого средства, чтобы прийти к такому заключению? Мы должны допустить в любом случае, что ошибка, допущенная в расчетах, может стать насколько угодно малой, чего уже немало; но разве устраняет её полностью, или как раз этот бесконечно малый характер ошибки, когда она рассматривается уже не в ходе самих вычислений, но в результатах, к которым они позволяют в конечном счете прийти?

Бесконечно малая разность, то есть до неопределённости уменьшающаяся, может быть лишь разностью двух переменных величин, так как очевидно, что разность двух постоянных величин может быть сама только постоянной величиной; рассмотрение бесконечно малой разности между двумя постоянными величинами не имеет, следовательно, никакого смысла. Теперь мы имеем право сказать, что две постоянные величины «являются строго равными между собой, если только их так называемая разность может предполагаться насколько угодно малой»;2 «исчисление бесконечно малых, как и обычное вычисление, реально имеет в виду лишь постоянные и определённые величины»;3 оно в конечном счете вводит переменные величины лишь в ранге вспомогательных, в их чисто переходном характере, и эти переменные должны исчезнуть из результатов, которые могут выражать лишь отношения между постоянными величинами. Необходимо, следовательно, чтобы получить эти результаты, перейти от рассмотрения переменных величин, к рассмотрению величин постоянных; и этот переход как раз и имеет следствием устранение бесконечно малых величин, которые, по сути дела, являются переменными и которые могут изображаться лишь как разности между переменными величинами.

Легко понять теперь, почему Карно в том определении, которое мы ранее цитировали, настаивает на свойстве, которое имеют бесконечно малые величины, какими они используются в вычислении, – считаться насколько угодно малыми «без того, чтобы мы были для этого обязаны изменять величины, отношение которых мы ищем». Дело в том, что эти последние должны быть в реальности постоянными величинами; верно, что они рассматриваются при вычислении как пределы переменных величин, но эти последние играют лишь простую вспомогательную роль так же, как и бесконечно малые величины, которые они вводят вместе с собой. Ключевой момент для обоснования строгости исчисления бесконечно малых заключается в том, что в результатах должны фигурировать лишь постоянные величины; в конечном счете необходимо при завершении вычислений перейти от переменных величин к величинам постоянным, и это и есть «переход к пределу», но понимаемый совершенно иначе, чем это делает Лейбниц, поскольку он не является следствием или «окончательным завершением» самого изменения; таким образом, и это здесь важно, бесконечно малые величины при этом переходе сами собой устраняются, и происходит это просто в силу замены переменных величин величинами постоянными.4

Следует ли видеть в таком устранении, как того желал Карно, лишь следствие простой «компенсации ошибки»? Мы так не думаем, и кажется, в реальности можно было бы увидеть в этом нечто большее ввиду того, что делается различие переменных величин и величин постоянных, как образующих в каком-то отношении две отдельные области, между которыми существует, несомненно, соответствие и аналогия, что, впрочем, необходимо для того, чтобы можно было действительно перейти от одного к другому, каким бы способом ни осуществлялся этот переход, но без того, чтобы их реальные отношения могли когда-нибудь установить между ними взаимопроникновение или даже некоторую непрерывность; это, между прочим, подразумевает между этими двумя видами величин различие исключительно качественного порядка в соответствии с тем, что мы говорили выше по поводу понятия предела. Именно этого различия Лейбниц никогда отчетливо не делал, и здесь так же, несомненно, ему помешала его концепция универсально применимой непрерывности. Однако как раз одно лишь это различие позволяет нам сформулировать следующее предположение: если разность двух переменных величин может сделаться насколько угодно малой, то постоянные величины, которые соответствуют этим переменным и которые рассматриваются как их соответствующие пределы, являются строго равными. Таким образом, бесконечно малая разность никогда не может стать нулевой, но она может существовать лишь между переменными, а между соответствующими постоянными величинами разность должна быть нулевой; отсюда непосредственно следует, что ошибке, которая может сделаться насколько угодно малой в области переменных величин, где действительно, в силу самого характера этих величин, не может быть и речи ни о чем, кроме неопределённого приближения, – этой ошибке неизбежно соответствует строго нулевая ошибка в области постоянных величин; и только в одном этом, а не в других доводах, которые, какими бы они ни были, всегда в той или иной мере находятся вне или в стороне от вопроса, и заключается, в сущности, истинное обоснование строгости исчисления бесконечно малых.

  1. 1. Фрагмент, датированный 26 марта 1676 г.⁠ ↑
  2. 2. Карно Л. Размышления о метафизике исчисления бесконечно малых, стр. 29.⁠ ↑
  3. 3. Фрейсине Ш. де. Об анализе бесконечно малых. Предисловие. С. VIII.⁠ ↑
  4. 4. См.: Фрейсине Ш. де. Там же. «Уравнения, называемые Карно "несовершенными", являются, собственно говоря, уравнениями от ложенными или переходными, которые являются строгими лишь постольку, поскольку их будут использовать при вычислении пределов, и которые были бы, наоборот, абсолютно неточными, если пределы не должны быть приняты в действительности. Достаточно иметь представленное уму действительное предназначение вычислений, чтобы не испытывать никаких сомнений в значении отношений, через которые переходят, и необходимо видеть в каждом из них не то, что оно могло бы действительно выражать, но то, что оно будет выражать позже, когда будут приняты пределы».⁠ ↑
НазадДалее

Поиск

Если вы хотите стать патроном, чтобы
перевод этого текста появился в корпусе раньше —
свяжитесь с редактором по почте
или через Telegram.

Предложить правку